6-2 等差数列 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

6-2 等差数列 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 6-2 平面向量的概念及线性运算 1 一、主干知识 1 考点1：等差数列的有关概念 2 考点2：等差数列的有关公式 2 考点3：等差数列的常用性质 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 4 题型一 等差数列基本量的运算 4 题型二 等差数列的判定与证明 5 题型三 等差数列的性质 6 命题点1　等差数列项的性质 6 命题点2　等差数列前n项和的性质 6 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数） (2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝. 考点2：等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 考点3：等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． （4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （5）S2n－1＝(2n－1)an. （6）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数． （7）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）． 【常用结论总结】 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 二、分类题型 题型一 等差数列基本量的运算 【例题精析1】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．-15 B．-14 C．-11 D．-6 【例题精析2】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题精析3】 （2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题精析4】 （2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 【对点精练1】 （2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，则的最小值为______． 【对点精练2】 （2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________. 【对点精练3】 （2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，则数列的公差________． 【对点精练4】 （2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为__________． 【对点精练5】 （2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则______. 题型二 等差数列的判定与证明 【例题精析5】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； 【例题精析6】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； 【例题精析7】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足． (1)求证：为等差数列； 判断数列{an}是