6-1 数列的概念 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

6-1 数列的概念 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 6-1 数列的概念 1 一、主干知识 1 考点1：数列及其有关概念， 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 4 题型一 由an与Sn的关系求通项公式 4 题型二 由数列的递推关系求通项公式 5 命题点1　累加法 5 命题点2　累乘法 5 题型三 数列的性质 6 命题点1　数列的单调性 6 命题点2　数列的周期性 6 命题点3　数列的最值 6 三、分层训练：课堂知识巩固 8 一、主干知识 考点1：数列及其有关概念， 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项． 2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号． 3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列； 按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列； 4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式． 几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的． （2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式． 5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【常用结论总结】 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 二、分类题型 题型一 由an与Sn的关系求通项公式 【例题精析1】 （2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； 【例题精析2】 （四川·高考真题）设数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式． (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 【对点精练1】 （上海·高考真题）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，. (1)求数列的通项公式； 【对点精练2】 （陕西·高考真题）已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项． 【对点精练3】 （安徽·高考真题）已知正项数列的首项．其前n项和，求的通项公式． 题型二 由数列的递推关系求通项公式 命题点1　累加法 【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 【例题精析4】 （2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记为数列的前项和，已知，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【例题精析5】 数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明. 【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足 (1)求取得最小值时的值； (2)若，证明：. 【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．记． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求使成立的正整数n的最大值． 【对点精练6】 （2022·全国·高三专题练习）若数列满足，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【对点精练7】 （2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，证明：. 【对点精练8】 数列和满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 命题点2　累乘法 【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，求证：． 【例题精析7】 已知数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【例题精析8】 （2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利