第三章_变量之间的关系 大单元设计 2022-2023学年北师大版七年级数学下册

“变量之间的关系”单元教学分析 1、 本单元知识发展主线 1.1课标要求 三维目标： I.知识与技能: a、通过合作探究具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间的关系体验，进一步发展符号感和理解变量、自变量、因变量的意义。 b、了解表格、关系式、图像是表示变量之间关系的三种方法。 c、能借助图像，表示因变量随自变量的变化情况，用水平方向的数轴表示自变量，用树枝方向的数轴表示因变量。 II.过程与方法: a、借助表格，关系式、图像表示因变量随自变量的变化情况。 III.情感态度与价值观: a、探索具体情境中变量之间的关系及其变化规律，并能结合实例，了解变量的三种表示方法，能够举出实例说明采用三种方法的异同。 对应课标： a、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。 b、能发现实际情境中的变量及其牵制关系，并确定其中的自变量或因变量。c、能从表格、图像中分析出木屑变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理的思考和表达能力。 d、能根据具体问题，选取表格或者关系式或者图像来表示一些变量之间的关系，并结合对变量之间的关系分析，尝试对变化趋势进行初步预测。 e、能利用图像表示速度与时间、路程与时间之间的关系，并能根据变量间的关系判断和识别图像。 1.2知识结构图 1.3涉及的数学思想方法（举例说明） ① 数形结合思想 含义：数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想。 例：如图所示，点P是等边三角形ABC的边上的一个做匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B,再沿BC边运动到C为止,设运动时间为t, △ACP的面积为S,则表示S与t的关系的大致图象是（） (解析)从动点的运动情况可知△ACP的面积逐渐增大,达到最大值后又逐渐变小，顾可排除B,△ABC为等边三角形，点P做匀速运动，可得S与t之间的关系的大致图象是C，故选C。 [解题策略]解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而综合分析整体的变化情况。 ② 特殊到一般思想 含义：通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论；由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 例：在本章的学习中，教材上每一节都是由特殊的例子引入，让学生初步认识到每一节所学的内容，后有通过每一节的大量例子，让学生理解此概念，并且最终将其应用到一般的数量上去。特殊到一般的思想是贯穿本章的。 1.4相关的数学核心概念（举例说明） ①数感 数感在本章的表现是学生在数量关系方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解、表述具体情境中的数量关系。 eg： (1)上表反映了哪两个变量的关系?自变量和因变量各是什么? (2)12时，水位是多高? (3)哪一段水位上升最快? [分析]此题需要学生通过两组数据的特点，以及结合现实生活中的联系，判断出因变量和自变量是什么，要能够理解题中的数量关系，体现了数感。 ②符号意识 符号意识主要体现在本章的用关系式表示变量之间的关系中，学生需要理解并运用符号表示数量关系和变化规律。 eg：某蓄水池开始蓄水，每时进水20米3，设蓄水量为V (米3),蓄水时间为t(时) (1) V与t之间的关系式是什么? (2)用表格表示当t从2变化到8时(每次增加1)， 相应的V值? (3)若蓄水池最大蓄水量为1000米3，则需要多长时间能蓄满水? (4)当t逐渐增加时，V怎样变化?说说你的理由。 [分析]此题中学生需要清楚t和V这两个符号在题中表示的实际意义从而解题。 2、 数学的联系与应用 2.1数学史与数学文化 我们知道，学习变量之间的关系是为了学生以后学习函数相关知识打下基础。故此，我收集到以下与函数有关的数学史及数学文化。 1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所