北京市海淀区清华大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

2022-2023学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 1．已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（　　） A．（﹣4，3] B．[﹣3，2） C．（﹣4，2） D．[﹣3.3] 2．已知{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28．则n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若两条直线ax+2y﹣1＝0与x﹣2y﹣1＝0垂直，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4 4．已知角α的终边经过点，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 5．过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（　　） A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0 6．若f（x）＝是奇函数，则（　　） A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1 7．设x，y∈R，则“”是“θ∈R，”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且△OPF是等边三角形，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 9．已知M为△ABC所在平面内的一点，||＝||＝1，且，，则＝（　　） A．0 B．1 C． D．3 10．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为P＝P0e﹣kI．其中P0，k是正的常数，如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（　　） A．40.5% B．54% C．65.6% D．72.9% 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知a，b均为实数，若b+i＝i（a+i），则a+b＝　 　． 12．已知椭圆的一个焦点是（0，2），则m＝　 　． 13．若直线y＝kx被圆C：x2+y2+2x＝0截得的弦长为1，则k＝　 　． 14．在平面直角坐标系xOy中，定点A（2，0），点B为曲线上的动点．则线段AB长度的最小值是 　 　；若第一象限存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则线段OC的最大值为 　 　． 15．无穷数列{an}满足：），其前n项和记为Sn． 给出下列四个结论： ①； ②数列{an}单调递增； ③设数列{}的前n项和为Tn，则存在n0∈N*，使得； ④若，则当n＞时，一定有． 其中，所有正确结论的序号是 　 　． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知函数的最小正周期为π，且f（x）的图像经过点． （Ⅰ）求ω和m的值； （Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，a）内有且仅有1个零点，求a的取值范围． 17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a＝13，c＝15，求△ABC的面积． 18．已知椭圆，圆N：（x+1）2+y2＝5，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为． （Ⅰ）求直线l方程及椭圆M的焦距． （Ⅱ）直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求． 19．已知函数f（x）＝xex． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围． 20．已知椭圆E：过点，E的离心率． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点A、B为椭圆左右顶点，过点H（4，0）且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线x＝4分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：|PH|＝|QH|． 21．数列an：a1，a2，…，an（n≥4）满足：a1＝1，an＝m，ak﹣1﹣ak＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1），对任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等． （Ⅰ）若m＝2，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2 （Ⅱ）记S＝a1+a2+⋯+an，若m＝3，证明：S≥20； （Ⅲ）若m＝2022，求n的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $