北京市昌平区第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

2022-2023学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷 一、本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题要求的一项. 1．已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），则的值为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．下列命题正确的是（　　） A．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），则 B．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），则⊥ C．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），则 D．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），则⊥ 3．已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（　　） A．x+4y+1＝0或x＝3 B．x+4y﹣1＝0或x＝3 C．x+4y+1＝0 D．x+4y﹣1＝0 4．已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），则平面ABC的一个法向量可以是（　　） A．（3，﹣1，﹣2） B．（﹣4，2，2） C．（5，1，﹣2） D．（5，﹣2，1） 5．已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（　　） A．0 B．20 C．﹣4 D．24 6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于a，则的值为（　　） A．a2 B．2a2 C．3a2 D． 7．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行的（　　） A．充分不必要调节 B．必要不充分调节 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也，合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为（　　） A． B． C． D． 9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（　　） A．x2+y2﹣2x﹣3＝0 B．x2+y2+4x＝0 C．x2+y2+2x﹣3＝0 D．x2+y2﹣4x＝0 10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（　　） A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1 B．线段CA1的中点 C．线段CA1的三等分点，且靠近点C D．线段CA1的四等分点，且靠近点C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上. 11．直线l：y＝kx﹣k+1过定点为 　 　． 12．已知空间＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），，则＝　 　． 13．若，且，则＝　 　，的最大值为 　 　． 14．若直线ax﹣y+2＝0与以点A（1，﹣2），B（4，1）为端点的线段相交，则a的取值范围是 　 　． 15．关于曲线C：x4+y2＝1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C围成的面积大于π；④曲线C围成的面积小于π．上述命题中，正确的序号为 　 　． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．已知向量＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，4），＝（2，x，﹣4）． （Ⅰ）若∥，求||； （Ⅱ）若⊥，求在方向上的投影数量． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（﹣1，﹣2）． （Ⅰ）△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程； （Ⅱ）求△ABC的面积． 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PCD； （Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值． 19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）圆C与直线l：x﹣y+m＝0于A，B两点，______，求m的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：． 20．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点． （Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值； （Ⅱ）求点D到平面PBG的距离； （Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值． 21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线