北京交通大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

2022-2023学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题。本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 3．圆x2+y2+4x﹣6y﹣3＝0的圆心坐标和半径分别为（　　） A．（4，﹣6），16 B．（2，﹣3），4 C．（﹣2，3），4 D．（2，﹣3），16 4．已知＝（1，0，1），＝（x，1，2），且•＝3，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．在正方体ABCD﹣A1B1∁DD1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y＝k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（　　） A．k B．k≤﹣2 C．k或k≤﹣2 D．﹣2≤k 7．已知直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0（a∈R），则“ea＝”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　） A．2 B． C．6 D． 9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（　　） A．x﹣2y﹣4＝0 B．2x+y﹣4＝0 C．4x+2y+1＝0 D．2x﹣4y+1＝0 10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（　　） A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面 BB1C1C所成的角为45° 二、填空题。本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线l经过点（1，﹣1），且与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，则直线l的方程为 　 　． 12．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣5＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9 截得的弦长为 　 　． 13．在长方体ABCD﹣A1B1B1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 　 　． 14．已知直线l：3x+4y+m＝0，圆C：x2+y2﹣4x+2＝0，则圆C的半径r＝　 　；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是 　 　． 15．已知实数x1、x2、y1、y2满足：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝　 　，+的最大值为 　 　． 三、解答题。本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且 ． （1）求证：CE⊥平面PBD； （2）求二面角P﹣CE﹣A的余弦值． ​ 17．已知圆E经过点A（0，0），B（1，1），从下列3个条件选取一个： ①过点C（2，0）； ②圆E恒被直线mx﹣y﹣m＝0（m∈R）平分； ③与y轴相切． （1）求圆E的方程； （2）过点P（2，3）的直线l与圆E相切，求直线l方程． 18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点． （1）若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值； （2）是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O；若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0及其上一点A（2，4）． （1）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程； （2）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＝，求实数t的取值范围． 20．已知S＝{1，2，…，n]，A⊆S，T＝{t1，t2}⊆S，记At＝{x|x＝a+ti，a∈A}（i＝1，2），用|X|表示有限集合X的元素个数． （1）若n＝4，A1∩A2＝∅，分别讨论A＝{1，2，3}和A＝{