4.2.2对数的运算性质-【教材配套课件+作业】高一数学精品教学课件（苏教版2019必修第一册）

4.2.2对数的运算性质 学习目标 1、换底公式 2、对数恒等式 1 复习引入 问题1. 我们知道指数运算 axay=ax+y, ax÷ay=ax-y, 由于对数运算是指数运算的逆运算, 你能进行下面的对数运算吗? ㏒aM+㏒aN=? ㏒aM - ㏒aN=? ㏒aMn=? 令㏒aM=x, ㏒aN=y, 化为指数式得ax=M ①, ay=N ②, ①②两式相乘得M·N=axay=ax+y, 化为对数式得x+y =㏒a(M·N), ∵x+y=㏒aM+㏒aN, ∴㏒aM+㏒aN=㏒a(M·N). 同理, ①② 可变化得 将①式两边 n 次方后可变化得 logaMn=nlogaM. (请同学们试求后面两式) 2 概念构建 对数的运算性质： 如果 a>0, a≠1, M>0, N>0, 那么 (1) loga(M·N) = logaM + logaN. (3) logaMn = n·logaM (n∈R). (2) loga = logaM - logaN. 3 题型建构 解: 例1. 用 logax, logay, logaz 表示下列各式: (1) (2) (1) = logax+logay-logaz. (2) 4 Administrator (A) - 题型建构 log2(4725) = log247+log225 例2. 求下列各式的值: (1) log2(47×25); (2) 解: (1) = log2214+log225 = 14+5 = 14log22+5log22 = 19. (2) 5 Administrator (A) - 数学建构 问题2. 我们可以用计算器或常用对数表查得 lg2, lg3 的值, 你能用这两个对数求 log23 吗? 令 log23=N, 所以lg2N=lg3, 所以 2N=3, 即 (将log23换成了10为底的对数) (猜想： 所以 N lg2=lg3, 即 6 Administrator (A) - 数学证明 令 logab=N, 又令 logcaN=logcb,  aN=b , 证明: 又令N logca=logcb, 7 Administrator (A) - 数学建构 换底公式: 8 Administrator (A) - 题型建构 例3. 利用对数的换底公式化简下列各式: (1) logac·logca; (2) log23·log34·log45·log52; (3) (log43+log83)(log32+log92) 解: (1) logac·logca= =1. (还可换成以 a 为底、c 为底, 或其他字母为底) (2) 原式 = =1. (3) 原式 = 9 Administrator (A) - 题型建构 设衰减率为 r, 碳14的原始含量为1, 残留量 y 与年数 t 的函数关系为 y=(1-r)t, ∵ “半衰期” 是5730年, 则 于是得函数为 例4. 生物机体内碳 14 “半衰期” 为5730年. 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残留量约占原始含量的 76.7%, 试推算马王堆古墓的年代. 解: 当 y=76.7%时, 得 写成对数式为 ≈0.3827, 则 t =57300.3827 ≈2193 (年). 答: 马王堆古墓大约已有2193年. 10 Administrator (A) - 即时训练 练. 在不考虑空气阻力的条件下, 火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg、火箭 (除燃料外) 的质量m kg 的函数关系是 v=2000 ln(1+ ). 当燃料质量是火箭质量的多少倍时, 火箭的最大速度可达 12 km/s? 解: 设燃料质量是火箭质量的 x 倍, 即 M=xm, 则有 v=2000ln(1+ ) =2000ln(1+x), 当火箭的最大速度 v=12 km／s 时, 得方程 12000=2000ln(1+x), 得 1+x=e6,  x≈402. 答: 当燃料质量是火箭质量的402倍时, 火箭的最大速度可达12 km／s. 11 Administrator (A) - 课堂达标 1. 计算: (1) (2) log318-log32; (3)