应用机械能守恒定律需做好三个”选取-《中学生数理化》高考理化2023年7-8月刊

应用机械能守恒定律需做好“三个”选取 ■山东省德州市第一中学 辛太兴 梁鸿秀 刘立毅(正高级教师) 机械能守恒定律是力学中的一个重要定 律,应用非常广泛,然而并不是所有的力学问题 在整个运动过程中都能够应用机械能守恒定律 求解,因为机械能守恒是有条件的,应用机械能 守恒定律求解力学问题重在“三个”选取。 一、正确选取守恒条件 从力和功的角度看,机械能守恒的条件 有以下四种:①物体只受重力作用;②物体除 受重力外还受其他力,但其他力不做功;③物 体除受重力外,还受其他力,其他力也做功, 但其他力做功的代数和为零;④对系统而言, 只有系统内的重力、弹力做功,其他力不做 功,系统的机械能守恒。只有满足上述条件 之一,机械能才守恒。因此,能否应用机械能 守恒定律求解, 关键在于判断是否满足机械 能守恒的条件。 例 1 如图1所示,一弹射游戏装置由 安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨 道AB、圆心为O1 的竖直半圆形轨道BCD、 圆心为O2 的竖直半圆形管道 DEF、水平直 轨道FG 及弹性板等组成,轨道各部分平滑 连接。已知滑块(可视为质点)的质量 m= 0.01 kg,轨道BCD 的半径R=0.8 m,管道 DEF 的半径r=0.1 m,滑块与轨道FG 间的 动摩擦因数μ=0.5,其余各部分轨道均光 滑,轨道FG 的长度L=2 m,弹射器中弹簧 的弹性势能最大值Epmax=0.5 J,滑块与弹簧 作用后,弹簧的弹性势能完全转化为滑块的 动能,滑块与弹性板作用后以等大速率弹回, 取重力加速度g=10 m/s2。 图1 (1)若弹簧的弹性势能Ep0=0.16 J,求 滑块运动到与O1 等高处时的速率v。 (2)若滑块在运动过程中不脱离轨道,求 滑块第1次经过管道 DEF 的最高点F 时, 对管道弹力N 的最小值。 (3)若滑块在运动过程中不脱离轨道且 最终静止在轨道FG 中点右侧的区域内,求 弹簧弹性势能Ep 的范围。 解析:(1)选由滑块和弹簧组成的系统为 研究对象,系统在运动过程中只有重力和弹 力做功,机械能守恒,则Ep0= 1 2mv 2+mgR, 解得v=4 m/s。 (2)滑块在 D 点恰不脱离轨道时,滑块 到达D 点时的速度最小,根据牛顿第二定律 得mg=m v2D R ,解得vD=22 m/s。滑块在 管道DEF 内运动的过程中,受重力和管道 弹力作用,只有重力做功,机械能守恒,则 1 2mv 2 D= 1 2mv 2 F+2mgr,解得vF=2 m/s。 滑块经过管道DEF 最高点F 时,根据牛顿第 二定律得N+mg=m v2F r ,解得N=0.3 N。 (3)滑块在轨道FG 上以速率vF(最小速 率)开始运动至停止的过程中,根据动能定理 得-μmgxmin=0- 1 2mv 2 F,解得xmin=0.4 m < L 2 ,因此滑块没有越过轨道 FG 的中点。 若弹簧的弹性势能为最大值Epmax 时,滑块从 初位置运动到F 点的过程中,根据机械能守 恒定律得Epmax=EkF+mg(2R+2r);滑块在 轨道FG 上从F 点运动至停止的过程中,根 据动 能 定 理 得-μmgxmax=0-EkF,解 得 xmax=6.4 m。当x1= L 2=1 m时,得Ep1= 0.23 J;当 x1'= 3L 2 =3 m 时,得 Ep1'= 0.33 J;当x2= 5L 2=5 m时,得Ep2=0.43 J; 9 物理部分 知识结构与拓展 高考理化 2023年7—8月 当x2'=6.4 m时,得Ep2'=0.5 J。因此弹簧 弹性势能Ep 的范围是0.23 J<Ep<0.33 J 或0.43 J<Ep≤0.5 J。 点评:正确构建和应用机械能守恒的条 件模型是顺利求解本题的前提。(1)(2)问中 第1个过程为弹簧推动滑块,由滑块和弹簧 组成的系统机械能守恒,符合条件④;第2个 过程是滑块脱离弹簧运动至F 点,滑块的机 械能守恒,符合条件②。滑块在F 点的最小 速度vF,对应滑块能通过 D 点的最小速度 vD,这是 隐 含 条 件。(3)问 中,滑 块 在 轨 道 FG 上运动时的机械能不守恒,求出滑块在 轨道FG 上滑行的最大路程xmax=6.4 m是 关键点和难点,滑块最终停在轨道FG 中点 右侧的区域内有两种情况:①滑块始终在轨 道FG 上,到 达 其 中 点 时 的 最 小 路 程 x1= 1 m,与弹性板碰后又返回其中点时的最大路 程x1'=3 m。②滑块第1次经过F 点时的 动能较大,在轨道FG 上与弹性板碰撞后沿 原路返回到弹射器,再被弹射到 F 点,