内容正文:
a=3,b=4,c=
5
4
,满足Δ≥0,而 max{a,b,
c}=4,
1
2
(a+b+c)=
33
8
,由于4<
33
8
,所以
选项A错误;取特殊值a=c=1,b=100,满
足Δ≥0,而max{a,b,c}=100,
1
4
(a+b+c)
=
51
2
,由于100>
51
2
,所以选项 C错误;又
1
3
(a+b+c)=34,由于100>34,所以选项D
错误。故选B。
点评:特殊值思维,排除法验证,这是破
解单项选择题比较常用的一种技巧与策略,
特别是对一些比较陌生、复杂的问题,往往可
以采用此思维方法进行尝试与应用。在运用
验证法解题时,若能根据题意确定代入顺序,
则能提高解题速度。
选择题中的基础题的解题原则就是“小
题小做”,要从“快”“准”“狠”等视角切入,在
难度中等及偏下的场景中,节约宝贵的时间
是根本目的,但同时也不能降低准确率。这
样在保证准确率的前提下,合理有效提高解
题速度,为后续的解题节省时间。
(责任编辑 王福华)
■
江苏省姜堰中学 林春斌
选择题中的压轴题部分,在新高考卷中
一般是第7题与第8题,在全国卷中一般是
第11题与第12题,以考查知识交汇与综合
应用为主,难度一般维持在中等及较难的层
面。该部分是拉开考生之间成绩差异最明显
的一个重要场所,除了正常掌握选择题中的
基础题相应的解题方法与技巧,还有一些特
殊的技巧与方法,对于正确解答选择题中的
压轴题有非常大的帮助。
一、估算法
估算法是契合“能根据要求对数据进行
估计,并能进行近似计算”的考试要求,对于
解决大小比较、关系判断、最值确定等问题有
奇效,经常通过放缩估算、整体估算、近似估
算、范围估算、特值估算等不同的技巧方法来
分析与处理。
例 1 (2023届湖北省鄂东南省级示
范教育教学改革联盟学校高三(上)期中数学
试题)已知a=e-2,b=1-ln
2,c=ee-e2,
则( )。
A.c>b>a B.a>b>c
C.a>c>b D.c>a>b
分析:在确定基本量e与ln
2的数值的
基础上,结合不等式的性质加以估算与判断,
进而得以判断三个代数式的大小关系。
解:由于e=2.718…,ln
2=0.693…,故
a=e-2≈0.718,b=1-ln
2≈0.307,而c=
ee-e2>e2· e-e2=e2(e-1)>22(2-
1)>1,则有c>a>b。故选D。
点评:估值法是解决比较大小问题的一
个特殊方法,经常通过中间值的巧妙介入加
以合理估算。在实际解决问题时,经常用估
算法来判断两个容易比较大小的问题,再综
合其他的判定方法加以解决。
二、极限法
极限法是巧妙借助极限思维来解决“动”
态问题时比较常用的一种技巧方法,借助变
量的极端值,动点的极端点或极端位置等,以
极限思维来代替一般情景,对于优化解题过
程起到很好的效果。
例 2 (2023届八省八校高三第一次
学业质量评价(T8联考)数学试题)已知椭圆
C:
x2
a2
+y
2
b2
=1(a>b>0),直线l过坐标原点
并交椭圆于P,Q 两点(P 在第一象限),A 是
x 轴正半轴上一点,其横坐标是点P 横坐标
5
知识篇 方法技巧助提高
高考数学 2023年7-8月
的2倍,直线QA 交椭圆于点B,若直线BP
恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则椭圆C
的离心率为( )。
A.
1
2 B.
2
2 C.
3
3 D.
6
3
分析:根据极端思维,结合动点 P 在椭
圆C 上(第一象限)运动时所带动的点Q,A,
B 等相关点的变化,以极端的特殊情况———
点A 与B 重合,此时这两点位于椭圆的右顶
点处,由此逆推来确定各相关点的坐标,结合
直线的斜率公式及斜率之间的关系来构建关
系式,从而达到分析与求解的目的。
解:取特殊情况,点 A 与B 重合,此时
B(a,0),将x=
a
2
代入椭圆C:
x2
a2
+y
2
b2
=1,
可 得 y = ±
3
2 b
,则 P a
2
,3
2b ,
Q -
a
2
,-
3
2b 。由于kPQ =
3
2b+
3
2b
a
2+
a
2
=
3·
b
a
,kPB=
3
2b
a
2-a
=- 3·
b
a
,而直线BP
恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则知kPQ·
kPB=-3·
b2
a2
=-1,即=
b2
a2
=
1
3
,所以e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=1-
1
3=
2
3
,所以椭圆C 的离心
率e=