选择题中基础题的解题方法与技巧-《中学生数理化》高考数学2023年7-8月刊

■山东省济南市莱芜第一中学 朱明贞 高考数学中选择题占比非常大,是拉开 考生之间差异的一个重要环节。选择题中的 基础题部分,在新高考卷中一般是第1题至 第6题,在全国卷中一般是第1题至第10 题,以考查基础知识与基本技巧为主,难度一 般维持在易、中等层面。想要正确快速地破 解选择题中的基础题,我们需要掌握必要的 解题方法与技巧。 一、直接法 直接法是从选择题的题设条件入手,结 合相关的概念、性质、公式、定理及法则等相 关知识加以逻辑推理或数学运算,进而作出 相应的选择与判断。 例 1 “李白斗酒诗百篇,长安市上酒 图1 家眠”,本诗句中的“斗” 的本义是指盛酒的器具, 后又作为计量粮食的工 具。某数学兴趣小组利 用相关材料制作了一个 如图1所示的正四棱台来模拟“斗”,用它研 究“斗”的相关几何性质,已知该四棱台的上、 下底的边长分别是2、4,高为1,则该四棱台 的表面积为( )。 A.122 B.32 C.20+122 D.20+123 分析:根据题意可知,四棱台的侧面都是 上底边长为2,下底边长为4的等腰梯形,利 用直接法,通过求出侧面的斜高,然后利用梯 形的面积公式即可求出侧面积,进而求解表 面积即可。 解:根据题意可知,该四棱台的侧面都是 上底边长为2,下底边长为4的等腰梯形,所 以侧面的斜高为h'= 1+1= 2,则侧面积 为(2+4)× 2× 1 2=32 ,上下底的面积分 别为2×2=4,4×4=16,所以该四棱台的表 面积为4+16+32×4=20+122。故选 C。 点评:直接法是解答选择题中最常用的 一种技巧方法,抓住题设条件,结合相关的数 学知识加以展开,直接利用定义、公式、定理、 性质等来确定相应正确的答案。 二、特值法 特值法是结合题设场景,选取相应的特 殊数值、特殊图形、特殊模型(函数、数列等) 及特殊位置等替代普遍性的条件,进而得出 相应的特殊结论,以特殊代替一般,合理检测 加以判断。 例 2 函数f(x)=asin x+bcos 2x+ csin 4x(a,b,c∈R)的最小正周期不可能是 ( )。 A. π 2 B.π C. 3π 2 D.2π 分析:对题设中参数a,b,c∈R 的取值 进行特殊化处理,取其中两个同时为0,另一 个不为0,借助三角函数的基本性质可以快 速确定对应三角函数的最小正周期。 解:取特殊值a=b=0,c≠0,此时函数 f(x)=csin 4x 的最小正周期T= 2π 4= π 2 ; 取特殊值a=c=0,b≠0,此时函数f(x)= bcos 2x 的最小正周期T= 2π 4=π ;取特殊值 b=c=0,a≠0,此时函数f(x)=asin x 的最 小正周期T= 2π 1=2π 。故选C。 点评:特值法可以简化运算与优化推理, 在解决一些含有字母或具有一般性结论的选 择题中比较适用。具体应用特值法时要注意 特值的选取尽可能简单,同时在选取特值的 3 知识篇 方法技巧助提高 高考数学 2023年7-8月 基础上合理验证,保证判断的准确性。 三、筛选法 筛选法是通过舍弃不符合题设要求的错 误答案,进而寻找符合题意的正确结论的一 种技巧方法。可采用特殊值或寻找个别场景 等方式剔除干扰项,进而找到正确的选项。 例 3 已知集合A= x x-1x-a<0 ,若 A∩N*=⌀,则实数a的取值范围为( )。 A.{1} B.(-∞,1) C.[1,2] D.(-∞,2] 分析:根据题设条件,求出参数a 在不 同取值情况下所对应的集合,利用集合的 运算来确定参数的取值范围,从而排除不 满足条件的选项,科学筛选,得以正确分析 与判断。 解:当a=1时,A=⌀,此时满足条件, 由此可以排除选项B;当a>1时,A={x|1 <x<a},此时若满足A∩N*=⌀,则有1< a≤2,由此可以排除选项A;当a<1时,A= {x|a<x<1},此时若满足 A∩N*=⌀,则 有a<1,由此可以排除选项C。综上分析,只 有选项D是满足条件的。故选D。 点评:利用筛选法解决选择题时,往往从 选择支入手,结合相关题设条件不断筛选不 满足条件的选项,合理优化,进而得以确定正 确的选项。 四、数形结合法 数形结合法是利用相关的图形形状、曲 线性质等来作出正确的分析与判断。 例 4 已知向量a,b 满足:|a|=2, |b|= 3,若对任意的x∈R,都有|a+xb|≥ |a+b|,则a与b的夹角为( )。 A.30° B.60° C.120° D.150° 分析:根据平面向量的几何内涵,将题设 中的代数信息加以几何化处理,合理构建对 应的平面几何图形———三角形,借助向量的 线性运算确定所对应的动点的轨迹,