填空题中压轴题的解题方法与技巧-《中学生数理化》高考数学2023年7-8月刊

■江苏省高邮市三垛中学 杨叶飞 填空题中的压轴题部分,在高考卷中一 般是第15题与第16题,以创新多变的形式 考查知识交汇与综合应用等,难度一般维持 在中等及较难层面。其在一定程度就是一个 解答题,需要系统的基础知识、基本技能与思 想方法,还要借助一些数学经验与体会,利用 一些相关的技巧与方法来剖析。 一、定义法 定义法就是抓住相关数学问题中知识点 的基本概念或相关定义,从定义视角切入并 展开,通过构建合理的联系(关系式或函数 等),进而利用相关的数学方法与技巧来分析 与解答。 例 1 (2023届湖南省长沙市雅礼中 图1 学高三上学期月考数学试 题)如图1,已知 F1,F2 同 时为椭圆 C1: x2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)与 双 曲 线 C2: x2 a21 -y 2 b21 =1(a1>0,b1>0) 的左焦点和右焦点,设椭圆C1 与双曲线C2 在第一象限内交于点 M,椭圆C1 与双曲线 C2 的 离 心 率 分 别 为e1,e2,若|F1F2|= 4|MF2|,则e1e2 的取值范围为 。 解析:因为|F1F2|=4|MF2|,即2c= 4|MF2|,则有|MF2|= 1 2c 。由椭圆的定义 可得|MF1|=2a-|MF2|=2a- 1 2c 。由双 曲线的定义可知0<2a1=|MF1|-|MF2| =2a- 1 2c- 1 2c=2a-c<2c (三角形两边之 差小于第三边),则有2a<3c,所以e1= c a> 2 3 ,即e1∈ 2 3 ,1 ,亦即1e1∈ 1,32 。又因 为e2= 2c 2a1 = 2c 2a-c= 2e1 2-e1 ,所 以e1e2= 2e21 2-e1 = 2 2 e21 - 1 e1 = 2 2 1e1 - 1 4 2 - 1 8 ∈ 23 ,2 。 故填 2 3 ,2 。 点评:本题在利用定义法构建对应的函 数关系式时,由于不同思维的切入,不同函数 的构建,不同变量的关系等,可以有不同的思 维方法。通过定义法所构建的函数,从不同 变量视角处理,但殊途同归,目标一致。 二、性质法 性质法是解决问题的本质方法之一,抓 住数学问题的内涵与实质,结合相关知识点 的基本性质加以展开与应用,借助合理的逻 辑推理或正确的数学运算,综合相关的性质 等来分析与解答。 例 2 (2023届安徽省淮南市高三第 一次模拟考试数学试题)在棱长为2的正方 体ABCD􀆼A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是线 段AA1,CC1,A1D1 的中点,点 M 在正方形 A1B1C1D1 内(含边界),记过E,F,G 的平面 为α,若BM∥α,则BM 的取值范围为 。 图2 解析:如图2所示,取 AB,BC,C1D1 的中点 H, I,J,易知过E,F,G 的平 面α 即 为 截 面 正 六 边 形 EHIFJG 所在的平面。而 在平面 A1BC1 中,A1B∥ EH,BC1∥IF,A1B∩BC1=B,所以 平 面 A1BC1∥平面α。则当 M∈A1C1 时,一定有 BM∥α,即动点 M 的轨迹为线段A1C1(含端 点)。而正△A1BC1 的边长为2 2,当动点 M 位 于 线 段 A1C1 的 端 点 位 置 时,BM = 01 知识篇 方法技巧助提高 高考数学 2023年7-8月 22,为线段BM 长度的最大值;当动点 M 位于线段A1C1 的中点位置时,BM= 6,为 线段BM 长度的最小值。所以BM 的取值 范围为[6,22]。故填[6,22]。 点评:性质法因知识点而异。对于立体 几何中的相关动点问题,动点轨迹的确定需 要灵活掌握立体几何的结构特征与基本知 识,考查同学们的空间想象能力与逻辑推理 能力等,正确构建出对应的动点轨迹,可以为 问题的进一步分析与解决提供条件,也是问 题解决中最重要的一个环节。 三、举例法 举例法是解决填空题中的开放性问题比 较常用的一种技巧方法,在答案不唯一的前 提下,通过举例写出一个符合题意的答案即 可达到目的。 例 3 (2023届江苏省南通市通州区 高三(上)期中数学试题)已知函数f(x)= 2-Asin2(x-φ)A>0,0<φ< π 2 的最小 值为0,且f π 3 =f(π),则函数f(x)的图 像的一个对称中心的坐标为 。 解析:因为f(x)=2-Asin2(x-φ)= 2-A· 1-cos(2x-2φ) 2 =2+ A 2cos (2x- 2φ)- A 2 的最小值为0,所以当cos(2x-2φ)= -1时,2-A=0,解得A=2。因为f π 3 = f (π),所 以 2 + cos 2π 3-2φ - 1 = 2+cos(2π-2φ)-1,即 cos 2π 3-2φ = c