填空题中基础题的解题方法与技巧-《中学生数理化》高考数学2023年7-8月刊

■江苏省南京市雨花台中学 谢晨明 作为高考数学试卷中的一类基本题型, 填空 题 一 般 有 四 个 小 题,分 值 占 比 接 近 15%,由于其答案具有确定性,给考生的正确 解答制造非常大的难度,也是拉开考生之间 差异的一个重要环节。填空题中的基础题部 分,在高考卷中一般是第13题与第14题,以 题小、量大的基本特征考查基础知识与基本 技巧等,难度一般维持在易、中等层面。对于 填空题中的基础题有其特殊的解题技巧与方 法,下面结合实例加以展开与剖析。 一、直接法 直接法是解答填空题最基本的方法之 一,直接从题设条件出发,利用相关的定义、 定理、性质、公式等知识,通过变形转化、逻辑 推理、数学运算等过程,直接得到结果。 例 1 以下为甲、乙两组按从小到大顺 序排列的数据: 甲组:14,30,37,a,41,52,53,55,58,80; 乙组:17,22,32,43,45,49,b,56。 若甲组数据的第40百分位数和乙组数 据的平均数相等,则4a-b= 。 解析:因为10×40%=4∈N*,所以甲组 数据的第40百分位数为 a+41 2 。乙组数据的 平均 数 为 17+22+32+43+45+49+b+56 8 = 264+b 8 。依题可得a+41 2 = 264+b 8 ,变形并 整理可得4a-b=100。故填100。 点评:直接法解答填空题,就是正确理解 并分析题意,直接切入,利用科学的逻辑推理 或正确的数学运算等来分析与处理。该题就 是直接抓住甲组数据的第40百分位数与乙 组数据平均数相等来加以数学运算,从而解 决问题。 二、特值法 由于填空题的结论具有唯一性,或题设 条件中提供的信息暗示答案是一个定值时, 经常可以用特值(特殊值、特殊图形、特殊函 数等)来代替问题中变化的不定量,往往可以 得到正确结果。 图1 例 2 如图1,在平面四 边形ABCD 中,∠ABC=90°, ∠DCA=2∠BAC,若 BD→= xBA→+yBC→,x,y∈R,则x- y= 。 解析:如图2所示,在矩 图2 形ABED 中,C 是BE 的中 点,此 时 ∠ABC = 90°, ∠DCA=2∠BAC,满足题 设条件,结合 BD→=xBA→+ yBC→,由平面向量的线性运 算及数形结合可知 x=1, y=2,所以x-y=-1。故填-1。 点评:在解答一些相关的填空题时,特值 法是一种非常好的数学思维方法,其是借助 特殊化思维来破解问题,以变化的形式选取 其中具有特殊意义或方便操作、运算、直观等 方面的图形来直接确定。 三、数形结合法 一些涉及几何背景或内涵的填空题,经 常通过“数”中建“形”,以“形”助“数”,从而形 象直观地解决问题。 例 3 在△ABC 中,D,E 分别是线段 AC,BD 的中点,∠BAC=120°,AE=4,则 △ABC 的面积的最大值为 。 图3 解析:如 图3所 示, 取 AD 的 中 点 F,连 接 EF,而 E 是线段BD 的 中 点,则 有 EF ∥AB, AB= 2EF,∠AFE = 60°,由图3可知S△ABC=2S△ABD=8S△AEF。在 △AEF 中,利用余弦定理可得AE2=AF2+ 8 知识篇 方法技巧助提高 高考数学 2023年7-8月 EF2-2AF ·EF ·cos∠AFE,即 16= AF2+EF2-AF·EF≥2AF·EF-AF· EF=AF·EF,当且仅当 AF=EF=4时, 等号 成 立,所 以 S△ABC =8S△AEF =4AF· EF·sin∠AFE=2 3AF·EF≤2 3× 16=323,即 △ABC 的 面 积 的 最 大 值 为 323。故填323。 点评:解三角形问题自身就具有“形”的 几何特征,在实际处理问题时,合理综合几何 思维与代数思维,巧妙地将两种思维加以统 一,合理数形结合,通过正确的代数运算,从 而合理直观地解决一些比较复杂的应用问 题。 四、等价转化法 等价转化法就是通过化复杂为简单,化 陌生为熟悉等的一个过程,借助题意恰当地 构造命题、方程、函数等,将问题等价地转化 成一个熟知的数学模型,从而得出正确的结 论。 例 4 若对任意的m,n∈R,关于x 的 不等式m-n≤(x-m)2+ex-n-a 恒成立, 则实数a的最大值为 。 解析:由不等式m-n≤(x-m)2+ex-n -a 恒成立,可得不等式 m2-(2x+1)m+ x2+ex-n+n-a≥0对任意的m∈R恒成立, 则Δ=(2x+1)2-4(x2+ex-n+n-a)≤0, 分离参数并整理可得不等式a≤ex-n+n- x- 1 4 恒成立,利用重要不等式可得ex-n+ n-x- 1 4≥x-n+1+n-x- 1 4= 3 4 ,当且 仅当x-n=0