数列求和型不等式证明的三种常见策略-《中学生数理化》高二数学2023年7-8月刊

数列求和型不等式证明的三种常见策略 ■安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 将数列与不等式进行综合,特别是证明 数列求和型不等式,因其思维灵活、方法多、 技巧性强,对同学们分析问题和解决问题的 能力要求比较高,同时要求同学们具备较强 的逻辑推理能力,所以备受命题人的青睐。 下面给出证明数列求和型不等式的三种常见 策略,希望对同学们的学习有所帮助。 一、先求和,再放缩 例 1 已知数列{an}与{bn}满足a1+ a2+a3+…+an=2bn(n∈N*),且{an}为正 项等比数列,a1=2,b3=b2+4。 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)若数 列{cn}满 足cn= an bnbn+1 (n∈ N*),Tn 为数列{cn}的前n项和,证明:Tn<1。 解析:(1)a1+a2+a3+…+an=2bn。① 当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1= 2bn-1。② ①-②可得,an=2(bn-bn-1)(n≥2),则 a3=2(b3-b2)=8。 a1=2,且an>0,设{an}的公比为q,则 a1q2=8,解得q=2,an=2×2n-1=2n。 故2bn=21+22+23+…+2n= 2(1-2n) 1-2 =2n+1-2,bn=2n-1。 (2)由 题 意 知,cn = an bn·bn+1 = 2n (2n-1)(2n+1-1) = 1 2n-1 - 1 2n+1-1 。 则Tn=c1+c2+c3+…+cn= 1 21-1 - 1 22-1 + 1 22-1 - 1 23-1 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1-1 =1- 1 2n+1-1 <1。 评注:第一问比较常规,构造方程求出基 本量即可得到通项公式;第二问求和时利用 裂项相消法,裂项时注意恒等变形。 例 2 已知首项为12的等比数列 {an} 是递减数列,其前n 项和为Sn,且S1+a1, S3+a3,S2+a2 成等差数列,数列{bn}满足 b1=1,nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{an bn}的前n 项和为Tn, 证明:Tn<2。 解析:(1)设等比数列{an}的公比为q, 因为S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列,所 以S3+a3-(S1+a1)=S2+a2-(S3+a3), 即4a3=a1,于是q2= a3 a1 = 1 4 。 又因为首项为 1 2 的等比数列{an}单调递 减,所以q= 1 2 ,an= 1 2n 。 因为nbn+1-(n+1)bn=n(n+1),即 bn+1 n+1- bn n=1 ,所以数列 bn n 是以1为首项、 1为公差的等差数列,即 bn n=n ,bn=n2。 (2)因为an bn = n 2n ,所以 Tn= 1 2+ 2 22 + 3 23 +…+ n 2n 。① 则 1 2Tn= 1 22 + 2 23 + 3 24 +…+ n 2n+1 。② 两式相减得 1 2Tn= 1 2+ 1 22 + 1 23 +…+ 1 2n - n 2n+1 = 1 2 1- 1 2 n 1- 1 2 - n 2n+1 =1- 1 2 n - n 2n+1 。所以Tn=2- n+2 2n <2,得证。 评注:第一问利用基本量法an,再利用 构造法得到等差数列求出bn;第二问观察所 给数列的通项公式,发现是常说的差比数列, 可以利用错位相减法来求和,再进行放缩。 二、先放缩,再求和 1.放缩成等差型 例 3 求证:1×2+ 2×3+ 3×4 01 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年7-8月 +…+ n(n+1)< n(n+2) 2 (n∈N*)。 证明:由均值不等式可知当k∈N* 时, k(k+1)< k+(k+1) 2 = 2k+1 2 。 令k=1,2,3,…,n,于是得到 1×2+ 2×3+ 3×4+…+ n(n+1)< 3 2+ 5 2+ 7 2+ …+ 2n+1 2 = 1 2× n(3+2n+1) 2 = n(n+2) 2 。 评注:利用均值不等式得到 k(k+1)< 2k+1 2 ,将不可求和的数列转化为等差数列, 再利用等差数列的前n项和公式来求和。 2.放缩成裂项型 例 4 已知正项数列{an}的前n 项和 为Sn,且满足2S2n-(n2+n)Sn-(n2+n+ 2)=0。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn= an n2+1 ,证明:b1+b2+…+ bn≤2n-1。 解析:(1)根据题意,正项数列{an}满足: 2S2n-(n2 + n)Sn-(n2+n+2)=0⇒ (Sn+1)[2Sn-(n2+n+2)]=0。 因Sn+1>0