剖析导数几何意义在几个方面的运用-《中学生数理化》高二数学2023年7-8月刊

剖析导数几何意义在几个方面的运用 ■河南省禹州市第一高级中学 李雯雯 导数的几何意义作为“导数概念”的几何 化特征,其应用不仅将几何与代数融为一体, 而且深刻揭示了数形结合思想的重要性,同 时导数几何意义蕴藏于导数综合问题中的应 用价值也将整个导数在函数中的应用推上了 一个新的台阶。下面从几个方面谈一谈导数 几何意义的运用。 函数f(x)在x0 处导数的几何意义,曲 线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜 率是k=f'(x0),于是相应的切线方程是 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 一、利用导数的几何意义求曲线的切线 例 1 (2022年江西模拟预测卷)已知 曲线f(x)=ex-ln x 与过点(0,1)的直线l 相切,则l的斜率为 。 解析:不妨设切点为(x0,e x0-ln x0), 则f'(x)=ex- 1 x ,f'(x0)=e x0- 1 x0 。 则切 线 方 程 为 y-(e x0-ln x0) = e x0- 1 x0 (x-x0)。 将点(0,1)代入上式得1-(e x0-ln x0) = e x0- 1 x0 (-x0)。 化简得ln x0=e x0(1-x0)。 解得x0=1,所以切线的斜率为e -1。 点评:设切点为(x0,e x0-ln x0),根据 导数的几何意义求出切线方程,再根据切线 过点(0,1)求出切点,从而可得出答案。 用导 数求曲线的切线注意下面两种情况。 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处 切线,k切线=f'(x0),相应的切线方程是:y- y0=f'(x0)(x-x0); (2)曲线y=f(x)的切线过点 P(x0, y0),先设切点,切点为Q(a,b) ,则斜率k= f'(a),切点Q(a,b) 在曲线y=f(x)上,切 点Q(a,b)在切线y-y0=f'(a)(x-x0) 上,切点Q(a,b)的坐标代入方程得关于a,b 的方程组,解方程组来确定切点,最后求斜率 k=f'(a),确定切线方程。 练习1:(2022年江苏省金陵中学高二期 末卷)曲线y=3x-ln x 在点(1,3)处的切线 方程为 。 解析:由题意知y'=3- 1 x ,当x=1时, y'=2,故切线方程为y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0。 故答案为2x-y+1=0。 二、利用导数的几何意义解决公切线问 题 例 2 (2022年重庆市育才中学高三 阶段练习)若直线l:y=kx+b(k>1)为曲线 f(x)=ex-1 与曲线g(x)=eln x 的公切线, 则直线l的纵截距b=( )。 A.0 B.1 C.e D.-e 解析:设直线l与曲线f(x)的切点为 (x1,y1),则f'(x)=ex-1。 易得l:y=xe x1-1+(1-x1)·e x1-1。 同理,设直线l与曲线g(x)的切点为 (x2,y2),由 g'(x)= e x ,得l:y= e x2 x+ e(ln x2-1)。 故 e x1-1= e x2 , (1-x1)e x1-1=e(ln x2-1)。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=1, x2=e 或 x1=2 , x2=1。 则l:y=x 或y=ex-e。 因为k>1,所以l为y=x 时不成立, b=-e。 故选D。 点评:利用导数几何意义解决切线问题 有三个要点:(1)切点在切线上;(2)切点在曲 44 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年7-8月 线上;(3)切点处的导数值等于切线的斜率。 综合利用以上三点就可解出参数的值,这是 求解切线问题的通性通法。 练习2:(2022年福建泉州市高二期中) 函数f(x)=ln x+ mx x+1 与g(x)=x2+1有 公切线y=ax(a>0),则实数 m 的值为 。 解析:根据题意,函数 f(x)=ln x+ mx x+1 与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a> 0),设切点分别为F(x1,y1),G(x2,y2)。 则f'(x)= 1 x+ m (x+1)2 ,g'(x)=2x。 所以a=2x2>0且 x22+1 x2 =2x2⇒x2= 1,a=2。 因此公切线为y=2x。 则 有 ln x1+ mx1 x1+1 =2x1, 1 x1 + m (x1+1)2 =2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒ln x1 + 2x21-x1-1=0。 设h(x)=ln x+2x2-x-1(x>0)⇒ h'(x)= 1 x+4x-1= 4x- 1 8 2 + 15 16 x >0 ,则 h(x)在(0,+∞) 上单调递增。