20 复数核心考点综合提高与演练-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■廖庆伟 一、选择题 1.已知i为虚数单位,下列说法正确的 是( )。 A.若x2+1=0,则x=i B.实部为零的复数是纯虚数 C.z= x2+1 i可能是实数 D.复数z=2+i的虚部是i 2.已知1+i是关于x 的方程x2+px+ q=0(p,q∈R)的一个根,则复数p+qi在复 平面内对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如果一个复数的实部和虚部相等,则 称这个复数为“等部复数”,若复数z=(2+ ai)i(其中a∈R)为“等部复数”,则复数z- 2ai在复平面内对应的点在( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.规定 a c b d =ad-bc,若在复平面上 的三个点A,B,C 分别对应复数0,z,zi,其 中z满足 z 1+i 1-i 1 =i,则△ABC 的面积 为( )。 A.25 B. 25 2 C.5 D. 5 2 5.欧拉公式exi=cosx+isinx 是由瑞士 著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的 定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指 数函数的关联,在复变函数论里占有非常重 要的地位,被誉为数学中的天桥。依据欧拉 公式,下列选项中不正确的是( )。 A.e 2π 3i对应的点位于第二象限 B.e π 2i为纯虚数 C. eπi 3+i 的模长等于 1 2 D.e π 6i的共轭复数为 1 2- 3 2i 6.(多选题)下列关于复数的说法正确的 是( )。 A.任意两个虚数都不能比较大小 B.在复平面中,虚轴上的点都表示纯虚数 C.复数集中的数与复平面内以原点为起 点的向量可以建立一一对应关系 D.(-i)2=1 7.(多选题)若复数z 的模为5,虚部为 -4,则( )。 A.z=±3-4i B.复数z在复平面内对应的点位于第四 象限 C.z=±3+4i D.z·z=-7 8.(多选题)在复数范围内(i为虚数单 位),下列假命题是( )。 A.2i>i B.若a+bi=0(a,b∈C),则a=b=0 C.若z+ 1 z∈R ,则 z =1 D.若z=z,则z∈R 9.(多选题)已知复数z1=a1+b1i,z2= a2+b2i(a1,b1,a2,b2 均为实数),下列说法正 确的是( )。 A.若z1=2z2,则z1>z2 B.z1 的虚部为b1 27 核心考点演练 高一数学 2023年7—8月 C.若 z1 = z2 ,则z21=z22 D.z1 2= z21 10.(多选题)设z1,z2,z3 为复数,下列 命题中正确的是( )。 A.若 z1 = z2 ,则z21=z22 B.若z1z2=0,则z1=0或z2=0 C.若z1z2=z1z3 且z1≠0,则z2=z3 D.若z2=z3,则 z1z2 = z1z3 二、填空题 11.若i是虚数单位,z=i+2i2+3i3+… +8i8,则 1z = 。 12.已知复数z=2-i,实数a,b 满足 z+ 5a z+b=0 ,则a+b= 。 13.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最 小值是 。 14.设复数ω=- 1 2+ 3 2i ,则ω2022= ,sin18°= 。 三、解答题 15.已知复数z=(1+i)m2-3im+2i- 1。 (1)当实数m 为何值时,复数z为纯虚数? (2)当实数 m 为何值时,复数z 表示的 点位于第四象限? 16.已知复数z1=1+ai,z2=2a-3i (a∈R)。 (1)若z1z2 是纯虚数,求|z1-z2|的值。 (2)若复数 z2 z1 在复平面内对应的点在直 线y=5x 上,求a的值。 17.在复平面内,O 为坐标原点,复数 z1=m+i是关于x 的方程x2-23x+n=0 的一个根。 (1)求实数m,n的值。 (2)若复数z2=1+ 3i,z1,z2, z2 z1 所对应 的点分别为A,B,C,记△AOB 的面积为S1, △BOC 的面积为S2,求 S1 S2 。 18.已知关于x 的方程x2-2x+a=0 a∈R 在复数集内有两个根x1,x2,且满足 x1-x2 =23。 (1)求实数a的值。 (2)若a>0,存在实数t,使得不等式 loga(a-t2)≥k2+2mk-2k 对任意的m∈ [-2,1]恒成立,求实数k的取值范围。 一、选择题 1.提示:对于 A,x=±i,A错误。对于 B,实部为零的复数可能虚部也为零,从而是 实数,B 错 误。对 于 C,当 x=i时,z= x2+1 i是实数,C正确。对于D,复数z= 2+i的虚部是1,D错误。应选C。 2.提示:因为1+i是关于x 的方程x2+ px+q=0(p,q∈R)