12 一道平面向量问题的解法分析&13 情境交融的概率与统计问题-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

一道平面向量问题的解法分析 ■冯克永 题目 如图1,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=3,BC=4,点 M,N 是边AB 上两 个动点,且满足 MN=2,求CM→·CN→ 的取 值范围。 图1 解法一:(动静结合法)由 MN=2得 |CN→-CM→|=2,平方整理得2CM→·CN→= CM→ 2 +CN→ 2 -4。由 AB=5,可设BM=x, x∈[0,3],则 AN=3-x。在△CBM 和 △CAN 中,由余弦定理得CM→ 2 =16+x2- 32 5x ,CN→ 2 =9+(3-x)2- 18 5 (3-x),由此代 入整理得CM→·CN→=x2-225x+ 48 5 ,x∈[0, 3],所以当x= 11 5 时,(CM→·CN→)min= 119 25 ,当 x=0时,(CM→·CN→)max= 48 5 。故CM→·CN→ 的取值范围是 119 25 ,48 5 。 解法二:(基底法)选择基底{CA→,CB→}。由 B,M,A 三点共线得CM→=xCA→+(1-x)· CB→,其中x∈ 0,35 。用x+25替换CM→= xCA→+(1-x)CB→ 中 的 x,可 得 CN→ = x+ 2 5 CA→+ 1-x-25 CB→,所以 CM→· CN→=9xx+25 +16(1-x)35-x =25x2- 22x+ 48 5 ,x∈ 0, 3 5 ,所以当x=1125时,(CM→· CN→)min= 119 25 ,当x=0时,(CM→·CN→)max= 48 5 。 故CM→·CN→ 的取值范围是 11925, 48 5 。 解法三:(坐标法)如图2,以CA 所在直 线为x 轴,CB 所在直线为y 轴,建立平面直 角坐标系xCy。 图2 设AN=x,x∈[0,3],则 AM=x+2。 因为sinA= 4 5 ,cosA= 3 5 ,所以点N 3- 3 5x , 4 5x ,点 M 3-35(x+2), 4 5 (x+2) ,所 以CM→·CN→= 3-35x 95-35x +45x· 8 5+ 4 5x ,整理得CM→·CN→=x2-85x+ 27 5 ,x∈[0,3],所 以 当 x= 4 5 时,(CM→· CN→)min= 119 25 ,当x=3时,(CM→·CN→)max= 48 5 。故CM→·CN→ 的取值范围是 11925, 48 5 。 解法四:取 MN 的 中 点 D,则 CM→· CN→=(CD→+DM→)·(CD→+DN→)=(CD→+ DM→)·(CD→-DM→)=CD→ 2 -1,所以|CD→|min 为点C 到直线AB 的距离,用等面积法得 |CD→|min= 12 5 。当点 M 与点B 重合时,|CD→| 取得最大值,在△CBD 中,由余弦 定 理 得 |CD→|max= 42+12-2×4×1× 4 5 = 53 5 。 故CM→·CN→ 的取值范围是 11925, 48 5 。 解后感悟:上述四种解法,让平面向量共 线、向量数量积、解直角三角形、等面积法求 高、余弦定理、二次函数等知识联系在一起, 彰显数学知识之间的交汇及应用价值。 作者单位:安徽省霍邱县第一中学 (责任编辑 郭正华) 52 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 ■袁满成 概率来源于生活,与日常生活联系十分 紧密,将其应用在实际生活中具有一定可行 性。情境题能更好地考查同学们的创新精 神、实践能力及数学素养。下面探讨情境交 融的概率与统计问题。 一、考查统计图与样本特征数 例1 为迎接北京2022年冬奥会,小王选 择以跑步的方式响应社区开展的“喜迎冬奥爱 上运动”健身活动。依据小王2021年1月至 2021年11月期间每月跑步的里程(单位:十公 里)数据,整理并绘制了折线图(如图1),根据 该折线图,下列结论正确的是( )。 图1 A.月跑步里程逐月增加 B.月跑步里程的极差小于15 C.月跑步里程的中位数为5月对应的里 程数 D.1月至5月的月跑步里程的方差相对 于6月至11月的月跑步里程的方差更大 由折线图的变化趋势可知, 月跑步里程不是逐月增加,A错 误。由折线图可知,月跑步里程的最小值出 现在2月为5,最大值出现在10月为25,极 差为20,大于15,B错误。月跑步里程从小 到大排列为:2月,8月,3月,4月,1月,5月, 7月,6月,11月,9月,10月,则5月对应的 里程为中位数,C正确。由折线图的变化趋 势可知,1月至5月的月跑步里程相对于6月 至11月波动性更小,所以1月至5月的月跑 步里程相对于6月至11月的月跑步里程的 方差更小,D错误。应选C。 求解统计图表问题,要