11 与三角形有关的最值问题的求解策略-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■王海平 与三角形有关的最值问题是高考的常考 题型,下面就这类问题的求解策略进行分类 解析,供大家学习与提高。 策略一:正弦函数性质法 例1 如 图1,在 扇 形 OPQ 中,半 径 OP=2,圆心角∠POQ= π 4 ,A 是扇形弧上 的动点,B 是半径OQ 上的动点,且 AB∥ OP,则△OAB 面积的最大值为( )。 图1 A.22-2 B.2-1 C. 3 3 D. 3 6 设∠AOP=θ,则0<θ< π 4 。因 为 AB∥OP,∠POQ= π 4 ,所以∠ABO= 3π 4 。由∠AOP=θ,可得 ∠OAB=θ,则∠AOB= π 4-θ 。 在 △OAB 中,由 正 弦 定 理 得 OB = OA·sin∠OAB sin∠ABO = 2sinθ 2 2 =2 2sinθ,所以 S△OAB= 1 2OA ·OBsin∠AOB=22sinθ· sin π4-θ =22sinθ 22cosθ- 22sinθ = 2sinθcosθ-2sin2θ=sin2θ-1+cos2θ= 2· sin2θ+ π 4 -1。 因为θ∈ 0, π 4 ,所以2θ+π4∈ π4, 3π 4 ,所以当2θ+π4=π2,即θ=π8时,S△OAB 取得最大值 2-1。应选B。 正弦函数y=sinx 在区 间 - π 2+2kπ ,π 2+2kπ (k ∈Z)上 单 调 递 增,在 区 间 π2+2kπ ,3π 2+ 2kπ􀭤􀭥 􀪁􀪁 (k∈Z)上单调递减。 策略二:余弦函数性质法 例2 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,2sinC-sinB=tanA· cosB,A= π 3 ,a=2,则2c-b的取值范围为 。 由2sinC-sinB=tanA· cosB,可 得2sinC-sinB= sinAcosB cosA ,结 合 正 弦 定 理 得 2c-b = acosB cosA 。 因为a=2,A= π 3 ,所以2c-b=4cosB。 由B∈ 0, 2π 3 ,可得cosB∈ -12,1 , 所以4cosB∈(-2,4)。故2c-b∈(-2, 4),即2c-b的取值范围为(-2,4)。 余弦函数y=cosx 在区 间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上 单调递增,在区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单 调递减。 策略三:正切函数性质法 例3 在锐角三角形 ABC 中,sinA- 32 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 sinC= sin2B-sin2C sin(B+C) ,AB=1,则AB 边上的 高的取值范围是( )。 A. 3 4 ,1 B. 34,32 C. 3 2 ,3 D. 34,3 因为sin(B+C)=sin(π- A)=sinA,所以sinA(sinA- sinC)=sin2B-sin2C。由正弦定理得a(a- c)=b2-c2,整理得 a2+c2-b2 ac =1 。 结合余弦定理得cosB= a2+c2-b2 2ac = 1 2 。又△ABC 为锐角三角形,所以B=60°。 设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则AB 边上的高h=a·sinB=a· sin60°= 3 2a 。由正弦定理得a= csinA sinC = sin(120°-C) sinC = 3 2tanC+ 1 2 。 由△ABC 为锐角三角形,B=60°,可知 30°<C<90°,则tanC> 3 3 ,所以a= 3 2tanC + 1 2∈ 1 2 ,2 ,所以 34<h< 3。故 AB 边 上的高的取值范围是 3 4 ,3 。应选D。 正切函数y=tanx 在区 间 - π 2+kπ ,π 2+kπ (k∈ Z)上单调递增。 策略四:二次函数性质法 例4 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,B 为钝角。若△ABC 的面 积为S,且4bS=a(b2+c2-a2),则sinA+ sinC 的最大值为 。 由 余 弦 定 理 得 cosA = b2+c2-a2 2bc ,即2bccosA=b2+ c2-a2,所以 4bS a =2bccosA= 4b a ·1 2ac · sinB,所以cosA=sinB,所以cosA=cosB- π 2 。因为B 为钝角,所以A,B-π2均为锐 角,所以B- π 2=A ,即B= π 2+A 。 所以sinA+sinC=sinB- π 2 +sinB+ B- π 2 =-cosB-cos2B=-2cos2B- cosB+1。 令cosB=t。因为B 为钝角,所以t∈ (