10 函数恒成立问题之“一题多解”-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■谭志国 与函数有关的恒成立问题,是高考的常 考题型。这类问题虽然具有一定难度,但其 解法离不开最基本的数学思想与方法,如换 元法,等价转化法,数形结合法,参变量分离 法,构造函数法和分类讨论法等。下面从“一 题多解”的角度,探究两例函数恒成立问题的 解法。 例1 若函数 f(x)=loga ax2-x+ 1 2 在区间[1,2]上恒为正数,求实数a 的取 值范围。 解法1:令g(x)=ax2-x+ 1 2 ,其对称 轴为x= 1 2a 。①当a>1时,0< 1 2a< 1 2 , g(x)在[1,2]上 单 调 递 增,由 g(x)min= g(1)=a- 1 2>1 ,解得a> 3 2 。②当0<a< 1时, 1 2a> 1 2 ,g(x)max=max{g(1),g(2)}, 则 g(1)<1, g(2)<1, 解得0<a<58。当12<12a≤1, 即 1 2≤a<1 时,g(x)在 1,2 上单调递增, g(x)min=g(1)=a- 1 2>0 ,解得a> 1 2 ,这 时 1 2<a<1 ;当1< 1 2a<2 ,即1 4<a< 1 2 时, g(x)min=g 1 2a =12-14a>0,解得a>12, 舍去;当1 2a≥2 ,即0<a≤ 1 4 时,g(x)在[1, 2]上单调递减,g(x)min=g(2)=4a- 3 2>0 , 解得a> 3 8 ,舍去。所以a 的取值范围为 1 2<a< 5 8 。 由①②得实数a∈ 12 ,5 8 ∪ 32,+∞ 。 解法2:当a>1时,ax2-x+ 1 2>1 等 价于a> 1 2 1 x 2 + 1 x 对x∈[1,2]恒成立。 令t= 1 x ∈ 1 2 ,1 ,则a>12t2+t 对t∈ 1 2 ,1 恒成立,所以a> 12t2+t max=32, 则a> 3 2 。当0<a<1时,0<ax2-x+ 1 2< 1等价于- 1 2 1 x 2 + 1 x<a< 1 2 1 x 2 + 1 x 对x∈[1,2]恒成立,则 - 1 2 1 x 2 + 1 x max <a < 12 1 x 2 + 1 x min。 令 t = 1x ∈ 1 2 ,1 ,则(-12t2+t)max<a< 12t2+t min。 不难求得 1 2<a< 5 8 。 故实数a∈ 12 , 5 8 ∪ 32,+∞ 。 解法3:当a>1时,ax2-x+ 1 2>1 ,即 ax2>x+ 1 2 对x∈[1,2]恒成立,所以当x∈ [1,2]时,y=ax2 的图像在y=x+ 1 2 的图像 上方。y=ax2(a>1)是下凸函数,以x=1 代入不等式得a> 3 2 。当0<a<1时,0< ax2-x+ 1 2<1 ,即x- 1 2<ax 2<x+ 1 2 , x∈[1,2],当图像经过点 2, 5 2 时,由二次 函数y=ax2 得 y= 5 8x 2;当 图 像 经 过 点 1, 1 2 时,由二次函数y=ax2 得y=12x2。 12 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 结合图像均为下凸函数,可得1 2<a< 5 8 。 故实数a∈ 12 , 5 8 ∪ 32,+∞ 。 例2 设函数f(x)=x2-1,对任意x∈ 3 2 ,+∞ ,f xm -4m2f(x)≤f(x-1)+ 4f(m)恒成立,求实数m 的取值范围。 解法1:因为f(x)=x2-1,且f x m - 4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m),所以 x2 m2 - 1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1), 即 x2 m2 -4m2x2≤x2-2x-3。因 为 x∈ 3 2 ,+∞ ,所以1m2-4m2≤1-2x-3x2恒成 立。令函数g(x)=1- 2 x- 3 x2 =-3 1x+ 1 3 2 + 4 3 。因为x∈ 32 ,+∞ ,所以1x∈ 0, 2 3 ,则 g(x)min=g 32 =-53,所 以 1 m2 -4m2≤- 5 3 ,即12m4-5m2-3≥0,所以 3m2+1 4m2-3 ≥0,即4m2-3≥0,解得 m≥ 3 2 或m≤- 3 2 。 故实数m∈ -∞,- 3 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ∪ 3 2 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 解法2:原不等式可化为 f(x-1)+ 4f(m)-f x m +4m2f(x)≥0,代入整理得 1- 1 m2 +4m2 x2-2x-3≥0。已 知 x∈ 3 2 ,+∞ ,所以x2>0,所以1-1m2+4m2≥ 2x+3 x2 。令 函 数 g (x)= 2x+3 x2 ,x