09 求解三角函数问题中的“数学素养”-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■何 敏 石汉荣 三角函数是高考的重要考点之一,也是 同学们学习的一个难点。下面探究三角函数 问题中的“数学素养”,供同学们学习与参考。 素养1:三角函数最小正周期探究中的 “定义法、公式法、图像法” 例1 (1)(多选题)下列函数中最小正 周期不是π的周期函数为( )。 A.y=sinx B.y= sinx C.y=cosx D.y= tanx (2)已知函数f(x)=2sinωx+ π 6 (ω> 0)的最小正周期为π,则函数f(x)在区间 - π 3 ,π 3 上的最小值为 。 解:(1)对于A,y=sinx 为偶函数,当 x≥0时,y=sinx 为周期函数,其周期为2π, 当x<0时,y=-sinx 为周期函数,其周期 为2π,在整个定义域上,此函数不具有周期 性,A错误。对于B,y= sinx 的图像是将 y=sinx 图像在x 轴下方的翻到x 轴上方得 到的,进而此函数为周期函数,且周期是π,B 正确。对于C,y=cosx =cosx 的周期为 2π,C错误。对于D,y= tanx 的图像是将 y=tanx 的图像在x 轴下方的翻到x 轴上方 得到的,其周期性不变,周期为π,D正确。 应选AC。 (2)因为ω>0,且此函数的最小正周期 为π,所以 2π ω =π ,可得ω=2,所以f(x)= 2sin 2x+ π 6 。由 x∈ -π3,π3 ,可 得 2x+ π 6∈ - π 2 ,5π 6 。因为函数y=sinx 在 - π 2 , π 2 上单调递增,在 π2,3π2 上单调 递减,所以当2x+ π 6=- π 2 ,即x=- π 3 时, 函数f(x)取得最小值,且最小值为-2。 体验:求三角函数周期的三种方法:利用 定义求周期;函数y=Asin(ωx+φ)或y= Acos(ωx+φ)的最小正周期 T= 2π |ω| ,函数 y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T= π |ω| ;求 含有绝对值符号的三角函数的周期时,可画 出函数的图像,通过观察图像得出周期。 素养2:三角函数奇偶性探究中的“定义 法、图像法” 例2 (1)已知函数f(x)=ax3+bsinx +3,若f(m)=1,则f(-m)=( )。 A.-1 B.2 C.5 D.7 (2)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)+ cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π)),则“φ= 3π 4 ” 是“函数f(x)为奇函数”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:(1)设 g(x)=f(x)-3=ax3+ bsinx,则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)= -ax3-bsinx=-g(x),所以函数g(x)是 奇函数。因为f(x)=g(x)+3,所以f(m) +f(-m)=g(m)+3+g(-m)+3=6。而 f(m)=1,所以f(-m)=5。应选C。 (2)由题意得f(x)= 2sin ωx+φ+ π 4 。由φ=3π4,可得f(x)= 2sin(ωx+π) =- 2sinωx,可知f(x)为奇函数,即充分 性成立。由f(x)= 2sinωx+φ+ π 4 为奇 函数,可得φ+ π 4=kπk∈Z ,由φ∈[0, 91 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 2π),取k=1,可得φ= 3π 4 ,符合题意,取k= 2,可得φ= 7π 4 ,符合题意,即必要性不成立。 应选A。 体验:三角函数奇偶性的判断,除了可以 借助定义,还可以借助其图像与性质。对于 y=Asin(ωx+φ),当x=0时,y=0,则为奇 函数;当x=0时,y 取最大值或最小值,则为 偶函数。 素养3:三角函数图像与性质应用中的 “换元法、分类讨论法” 例3 已 知 函 数 f(x)=4cos2 x 2+ π 4 sinx+ sinx+cosx (sinx-cosx)+1。 (1)常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间 - π 3 ,π 2 上是增函数,求ω 的取值范围。 (2)若函数g(x)= 1 2 f (2x)-af(x)+􀭠􀭡 􀪁􀪁 af π 2-x -a -1在 -π2,π2 上的最大 值为2,求实数a的值。 解:(1)因为f(x)=4cos2 x 2+ π 4 sinx + sinx+cosx (sinx-cosx)+1,所以 f(x)=2 1+cosx+ π 2 sinx+sin2x- cos2x+1=2(1-sinx)sinx+sin2x-cos2x +1=2sinx,所以f(x)=2sinx。由此可得 y=f(ωx)=2sin(ωx)。