08 代数与几何比翼，技能与素养齐飞—一道解三角形问题的探究-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

———一道解三角形问题的探究 ■彭 慧 解三角形问题是高中数学中的一个基本 知识点,它与三角函数、平面向量等知识交 汇,是高考中比较常见的一类综合应用问题, 极具创新性与综合性,且常考常新,备受大家 的关注。 一、问题呈现 题目 在△ABC 中,D,E 分别是线段 AC,BD 的中点,∠BAC=120°,AE=4,则 △ABC 面积的最大值为 。 利用“数”的视角通过数学运算,并进行 合理逻辑推理,或利用“形”的视角通过几何 直观,并进行巧妙的数形结合,都是解决该题 比较常用的技巧与方法。 二、问题破解 方法1:余弦定理和基本不等式法 如图1所示,设EB=ED=t。 图1 在△ABE 与△ADE 中,由余弦定理得 AE2+BE2-AB2 2AE·BE =- AE2+DE2-AD2 2AE·DE ,所 以 16+t2-c2 8t =- 16+t2- 1 4b 2 8t ,整理得t2= 1 2c 2+ 1 8b 2-16,则BD2=4t2=2c2+ 1 2b 2- 64。在 △ABD 中,由 余 弦 定 理 得 BD2= AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAC=c2+ 1 4b 2+ 1 2bc ,所以2c2+ 1 2b 2-64=c2+ 1 4b 2 + 1 2bc ,即64=c2+ 1 4b 2- 1 2bc 。由基本不 等式得64=c2+ 1 4b 2- 1 2bc≥2 c 2·1 4b 2 - 1 2bc= 1 2bc ,所以bc≤128,当且仅当c2= 1 4b 2,即c= 1 2b 时等号成立。故△ABC 面 积S△ABC= 1 2bcsin∠BAC= 3 4bc≤323 ,即 △ABC 面积的最大值为323。 解后反思:熟练掌握余弦定理的应用,再 结合基本不等式是解答本题的关键。 方法2:向量和基本不等式法 由E 是BD 的中点,可得 AE→=12(AB → +AD→)=12AB →+14AC →,两边平方得AE→ 2 = 1 4AB →2+116AC →2+14AB →·AC→,即16=14c 2 + 1 16b 2- 1 8bc 。 由基本不等式得16= 1 4c 2+ 1 16b 2- 1 8bc≥ 2 1 4c 2·1 16b 2- 1 8bc= 1 8bc ,当且仅当1 4c 2= 1 16b 2,即c= 1 2b 时等号成立,所以bc≤128。故 △ABC面积S△ABC= 1 2bcsin∠BAC= 3 4bc≤ 323,即△ABC面积的最大值为323。 解后反思:巧妙构造向量,结合向量的模 与数量积的运算是解答本题的关键。 方法3:坐标法和基本不等式法 以A 为坐标原点,线段AB 所在的直线 为x 轴,建立平面直角坐标系xAy,如图2, 则点A(0,0)。 71 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 图2 设点B(c,0),C(bcos120°,bsin120°)= - 1 2b ,3 2b ,则D -14b,34b ,E 4c-b8 , 3 8b 。由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 AE2 = 4c-b 8 2 + 3 8b 2 =16,即256=4c2+b2- 2bc,所以 2c- 1 2b 2 + 3 4b 2=256。令2c- 1 2b=16cosθ ,3 2b=16sinθ ,θ∈ 0, π 2 ,则 b= 323 3 sinθ ,c=8cosθ+ 83 3 sinθ ,所以 △ABC 面积S△ABC= 1 2bcsin∠BAC= 3 4bc =64sinθcosθ+ 3 3sin 2θ =64 12sin2θ+ 3 3 ·1-cos2θ 2 = 32 sin2θ- 33cos2θ+ 3 3 =3233 2sin2θ-π6 +1 ≤3233 × (2+1)=32 3,当且仅当sin2θ- π 6 =1, 即θ= π 12 时等号成立。故△ABC 面积的最 大值为323。 解后反思:根据题设条件,从不同视角切 入来确定b与c的关系式,是解决该问题的 关键步骤与重要一环。 方法4:几何和基本不等式法 如图3所示,取AD 的中点F。 图3 由 E 是 BD 的 中 点,可 得 EF∥AB, AB=2EF,∠AFE=60°。由数形结合知, △ABC 面积S△ABC=2S△ABD=8S△AEF。 在△AEF中,由余弦定理得AE2=AF2+ EF2-2AF·EF·cos∠AFE,即16=AF2+ EF2-AF·EF≥2AF·EF-AF·EF=AF· EF,当且仅当AF=EF=4时等号成立。 故△ABC 面积S△ABC=8S△AEF=4AF· EF·sin∠AFE=23AF·EF