07 基本不等式求最值的八种思维方法-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■尹丹青 利用基本不等式求最值是高考的常考 点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维 方法。 方法一:“定和”与“拼凑定和”求积的 最值 例1 已知x>0,y>0,且x+y=7,则 (1+x)(2+y)的最大值为 。 解:由x+y=7,可拼凑(x+1)+(y+ 2)=10,利用基本不等式求最值。易得(x+ 1)+(y+2)=10,所以(1+x)(2+y)≤ (1+x)+(2+y) 2 2 =25,当且仅当1+x= 2+y,即x=4,y=3时等号成立。故(1+x)· (2+y)的最大值为25。 解后反思:利用基本不等式求最值时,必 须同时满足:“一正”“二定”“三相等”。 方法二:“定积”与“拼凑定积”求和的 最值 例2 若a>-3,则 a2+6a+13 a+3 的最小 值为 。 解:对a 2+6a+13 a+3 变形拼凑积为定值,利 用基本不等式求最值。因为a>-3,所以 a+3>0, 4 a+3>0 。由 基 本 不 等 式 得 a2+6a+13 a+3 = (a+3)2+4 a+3 = (a+3)+ 4 a+3 ≥2 (a+3)· 4 a+3=4 ,当且仅当a+3= 4 a+3 即a=-1时等号成立。故 a2+6a+13 a+3 的最小值为4。 解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 “和定积动,积定和动”来求解。 方法三:“和积化归”构建不等式求最值 例3 已知x>0,y>0,且x+y+xy= 3,若不等式x+y≥m2-m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 。 解:由基本不等式得(x+y)min=2,构建 m2-m≤(x+y)min,再解不等式即可。 由3-(x+y)=xy≤ (x+y)2 4 ,当且仅 当x=y=1时等号成立,解得x+y≥2或 x+y≤-6(舍去),则(x+y)min=2。因为不 等式x+y≥m2-m 恒成立,所以m2-m≤ (x+y)min,即m2-m≤2,解得-1≤m≤2。 解后反思:根据和与积的关系式,结合基 本不等式可以求出积或和的最值,这就是“和 积化归法”。 方法四:“化1”与“拼凑化1”求最值 例4 已知a,b 均为正数,且 1 a+1+ 2 b-2= 1 2 ,则2a+b的最小值为 。 解:确定b>2,由题设变换得2a+b= 2[2(a+1)+(b-2)] 1a+1+ 2 b-2 ,展开凑 积为定值,利用基本不等式求最值。 当b∈(0,2)时, 2 b-2<-1 ,而 1 a+1<1 , 则 1 a+1+ 2 b-2<0 ,不符合题意,故b>2。 2a+b=2(a+1)+(b-2)=2[2(a+1)+ (b-2)] 1a+1+ 2 b-2 =8·a+1b-2+2· b-2 a+1+8≥2 16 ·a+1 b-2 ·b-2 a+1+8=16 ,当 且仅当8· a+1 b-2=2 ·b-2 a+1 ,即a=3,b=10 时等号成立。故2a+b的最小值为16。 解后反思:“化1”或“拼凑化1”求最值的 关键是基本不等式的灵活应用。 方法五:不等式链 2 1 a+ 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 (a,b∈R*)的合理应用 例5 已知a>0,b>0,若a+b=4, 51 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 则( )。 A.a2+b2 有最小值4 B.ab有最大值2 C. 1 a+ 1 b 有最大值1 D. 1 a+ b 有最小值 2 4 解:已知a>0,b>0,则 2 1 a+ 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 ,当且仅当a=b时取等号。 a2+b2≥ (a+b)2 2 =8 ,A 错误。由4=a+ b≥2 ab,可得ab≤4,B错误。 1 a+ 1 b≥ 4 a+b=1 ,C 错 误。 1 a+ b ≥ 1 2 a+b 2 = 1 22 = 2 4 ,当且仅当a=b=2时取等号,D正 确。应选D。 解后反思:不等式链 2 1 a+ 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 (a,b∈R*)分别为调和平均 数、几何平均数、代数平均数、平方平均数。 方法六:复杂分式构造法凑定值 例6 已知a>b,不等式ax2+2x+b≥ 0对于一切实数x 恒成立,且∃x0∈R,使得 ax20+2x0+b=0成立,则 a2+b2 a-b 的最小值为 。 解:由不等式恒成立和∃x0∈R使得方 程成立可得ab=1,将 a2+b2 a-b 化成a-b+ 2 a-b 求最值。因为不等式ax2+2x+b≥0 对于一切实数x 恒成立,所以 a>0, 4-4ab≤0。 因 为∃x0∈R,使得ax20+2x0+b=0成立,所 以4-4ab≥0。据上可得,4-4ab=0,所以a >0,b>0,ab=1。故 a2+b2 a