06 与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略 ■罗良平 与平面向量有关的最值、范围问题是高 中数学的一个难点,也是高考的一个热点。 下面就常见的求解策略,进行举例分析,供大 家学习与参考。 策略一:利用一次函数的性质 例1 如图1,在矩形 ABCD 中,AB= 2BC=2,AC 与BD 的交点为M,N 为边AB 上任意点(包含端点),则 MB→·DN→ 的最大 值为 。 图1 解:以A 为坐标原点,向量 AB→,AD→ 的 方向为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐 标系xAy(如图1),则点 M 1, 1 2 ,B(2,0), D(0,1)。设点N(m,0),0≤m≤2,则 MB→= 1,- 1 2 ,DN→=(m,-1),所以 MB→·DN→ =m+ 1 2 。 因为0≤m≤2,所以 1 2≤MB →·DN→≤ 5 2 ,所以 MB→·DN→ 的最大值为52。 一次函数y=kx+b(k≠ 0),当k>0时,为单调递增函 数;当k<0时,为单调递减函数。 策略二:利用二次函数的性质 例2 如图2,在平行四边形ABCD 中, AB=4,AD=2,AB→·AD→=42,点P 在边 CD 上,则PA→·PB→ 的取值范围是( )。 图2 A.-1,8 B.-1,4+ 2 C.-2,4+42 D.-2,0 解:作 DO⊥AB,垂足为O。以点O 为 坐标原点,OB,OD 所在直线为x 轴,y 轴建 立平面直角坐标系xOy(如图2)。 因 为 cos ∠BAD = AB→·AD→ AB→ · AD→ = 42 4×2= 2 2 ,所以∠BAD= π 4 。 在Rt△AOD 中,因为∠BAD= π 4 ,AD =2,所以OD=OA= 2,OB=4- 2,所以 点A(- 2,0),B(4- 2,0)。设点 P(x, 2),0≤x≤4,则 PA→=(- 2-x,- 2), PB→=(4- 2-x,- 2),所以PA→·PB→= (- 2-x)(4- 2-x)+(- 2)×(- 2) =x2+(22-4)x+4-42。 因为二次函数y=x2+(2 2-4)x+ 4-42的图像的开口向上,对称轴为x=2- 2,且0≤x≤4,所以当x=2- 2时,PA→· PB→ 取得最小值-2,当x=4时,PA→·PB→ 取 得最大值4+42。故PA→·PB→ 的取值范围 是[-2,4+42]。应选C。 坐标法是求解这类问题 的常用方法,建立坐标系的关 键在于“巧”。求二次函数的最值问题,应注 意二次项系数的符号。 策略三:利用三角函数的性质 例3 如图3,已知边长为1的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点A,D 分别在x 轴,y 轴 的 正 半 轴 上(含 原 点 O)滑 动,则 OB→+OC→ 的最大值是( )。 图3 A.5 B.2 C.3 D.10 31 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 解:当A 与O 重合时,B(1,0),C(1,1), 此时OB→+OC→=(2,1),所以|OB→+OC→|=5。 当A 与O 不重合时,设∠OAD=θ,0≤ θ≤ π 2 。因为AD=1,所以OA=cosθ,OD= sin θ,所 以 点 B cosθ+cosπ2-θ , sin π2-θ ,C(sinθ,sinθ+cosθ)。所以 OB→=(cosθ+sinθ,cosθ),OC→=(sinθ,sinθ +cosθ)。所以OB→+OC→=(2sinθ+cosθ, sinθ+ 2cos θ), 所 以 OB→+OC→ = (2sinθ+cosθ)2+(sinθ+2cosθ)2 = 5+4sin2θ,所以当2θ= π 2 ,即θ= π 4 时, OB→+OC→ 取得最大值3。 综上 可 知,OB→+OC→ 的 最 大 值 为3。 应选C。 若x 为三角形的内角,则 y=sinx 在 0, π 2 上单调递 增,在 π 2 ,π 上单调递减。 策略四:利用向量共线 例4 如图4,单位圆O:x2+y2=1上有 两定点A(1,0),B(0,1)及两动点C,D,且 OC→·OD→=12,则CA →·CB→+DA→·DB→ 的最 大值是( )。 图4 A.2+ 6 B.2+23 C.6-2 D.23-2 解:设AB 的中点为E,CD 的中点为F, 则OA→+OB→=2OE→,OC→+OD→=2OF→。由 OC→·OD→=12,可得 OC → · OD→ cos∠COD =cos∠COD= 1 2 ,所 以∠COD= π 3 ,所 以 △OCD 为等边三角形,所以OF= 3 2 。由题设 可得,OE= 2 2 。 CA→·CB→+DA→·DB→= OA→-OC→ · OB→-