05 聚焦主干知识 提升思维能力-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■蒋 艳 光阴似箭,日月如梭,转眼高一年级结束 了。在这一年中同学们学完了高中数学必修 一和必修二,你是否掌握了这些核心模块? 下面聚焦主干知识,帮助同学们提升思维 能力。 一、集合与常用逻辑用语 例1 (多 选 题)已 知 函 数 f(x)= loga x a+ 1 x-1 (a>1),若对于定义域内任 意x1,总存在x2,使得f(x2)<f(x1),则满 足条件的实数a的可能值为( )。 A.5 B. 19 4 C. 19 5 D.2 解:对于定义域内任意x1,总存在x2,使 得f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在其定义 域内无最小值,所以函数g(x)= x a+ 1 x-1 (a>1)在其定义域内无最小值或g(x)min≤ 0。当a>1时,函数g(x)在(0,a]上单调 递减,在[a,+∞)上单调递增,则g(x)min =g(a)= 2 a -1≤0,所以a≥4。应选 AB。 提炼:含有全称量词和存在量词的不等 式成立问题,关键是将含有全称量词和存在 量词的条件“等价转换”。 二、基本初等函数 例2 已知函数f(x),g(x)的定义域均 为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x- 4)=7。若y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,且 g(2)=4,则 下 列 结 论 正 确 的 是( )。 A.g(3)=6 B.f(-1)=-1 C.f(1)=1 D.∑ 2023 k=1 f(k)=-2025 解:因为y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,所以g(2-x)=g(2+x)。因为f(x) +g(2-x)=5,所以f(-x)+g(2+x)= 5,所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。 由g(x)-f(x-4)=7,可得g(2-x)= f(-x-2)+7,代入f(x)+g(2-x)=5得 f(x)+f(-x-2)=-2。令x=-1,则 f(-1)+f(-1)=-2,所以f(-1)=-1, 所以f(1)=-1,B正确,C错误。由f(x) +g(2-x)=5,令x=-1,可得f(-1)+ g(3)=5,所以g(3)=6,A正确。由f(-x) =f(x)得f(-x-2)=f(x+2),由f(x) +f(-x-2)=-2得f(x)+f(x+2)= -2,所以f(x+2)+f(x+4)=-2,所以 f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期 的周期函数。由g(2)=4,f(x)+g(2-x) =5,令x=0,可得f(0)+g(2)=5,即f(0) =1,所以 f(4)=f(0)=1。由 f(x)+ f(x+2)=-2,令x=0,可得f(0)+f(2) =-2,即f(2)=-3。又f(3)=f(3-4)= f(-1)=-1,所以∑ 2023 k=1 f(k)=505[f(1)+ f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3) =505(-1-3-1+1)-1-3-1=-2025, D正确。应选ABD。 提炼:本题以抽象函数为载体,考查函数 图像的对称性和周期性。解题时,要熟练掌 握换元法、赋值法的灵活应用。 三、三角函数 例3 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,1+sin2A=(3tanB+2)· cos2A。 (1)若C= 3π 4 ,求tanB 的值。 (2)若A=B,c=2,求△ABC 的面积。 解:(1)若C= 3π 4 ,则A+B= π 4 。因为1 +sin2A=(3tanB+2)cos2A,又cos2A≠ 0,所 以 1+sin2A cos2A = (sinA+cosA)2 cos2A-sin2A = sinA+cosA cosA-sinA= tanA+1 1-tanA =tan A+ π 4 = 3tanB+2,所以tan π2-B =3tanB+2,即 11 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 1 tanB=3tanB+2 ,解得tanB= 1 3 或tanB =-1。又B∈ 0, π 4 ,所以tanB=13。 (2)由A=B,结合tanA+ π 4 =3tanB +2,可得tan2A= 1 3 ,即tanA=± 3 3 。因为 A=B∈ 0, π 2 ,所以tanA= 33,所以A= B= π 6 ,所以C= 2π 3 ,所以△ABC 是以C 为顶 角的等腰三角形,所以a=b= c 2cos π 6 = 23 3 , 所以△ABC的面积S= 1 2absinC= 3 3 。 提炼:对于(1)问,要对 1+sin2A cos2A 进行有 效的化简;对于(2)问,由 A=B,得到 A= B= π 6 是解题的关键。 四、立体几何初步 例4 如图1,在直三棱柱ABC