04 五类特殊函数模型的探究及应用-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■赵邦一 张丽园 高考中的不等式、最值及取值范围问题, 不仅要构建初等函数(二次函数、幂函数,以 及指数和对数函数),还要构建某些特殊的初 等函数的复合函数模型求解。下面归纳整理 五类特殊函数模型的应用。 模型1:反比例函数的复合函数 y= ax+b cx+d (c≠0,ad≠bc) 例1 设函数f(x)= 1-x 1+x ,则下列函数 中为奇函数的是( )。 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解法1:探究函数f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x 的对称中心,利用奇函数的定义判断。 对于A,f(x-1)-1= 2 x-2 ,定义域不关于 原点对称,不是奇函数。对于B,f(x-1)+ 1= 2 x 是奇函数。对于 C,f(x+1)-1= 2 x+2-2 不是奇函数。对于D,f(x+1)+ 1= 2 x+2 ,定义域不关于原点对称,不是奇函 数。应选B。 解法2:探究函数f(x)的对称中心,利 用图像 平 移 验 证。f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x 的对称中心为(-1,-1),其图像向右 平移1个单位再向上 平 移1个 单 位 得 到 f(x-1)+1为奇函数。应选B。 感悟:函数奇偶性的判断是在定义域关 于原点对称的前提下,根据f(-x)与f(x) 的关系得到结论,有时也可以借助图像平移 探究复合函数的奇偶性。 模型2:对钩函数y=ax+ b x (a>0,b>0) 例2 求函数f(x)= x3-x x4+x2+1 在区间 [1,3]上的最值。 解:通过合理变形,换元化归,利用对钩 函数的性质求解。 易得当x=0时,f(x)=0。 当x≠0时,易得f(x)= x3-x x4+x2+1 = x- 1 x x- 1 x 2 +3 。设x- 1 x=t ,则t=x- 1 x 在 [1,3]上单调递增,则t∈ 0, 8 3 。原函数等价 于g(t)= t t2+3 ,t∈ 0, 8 3 。易得g(0)=0。 当t>0时,g(t)= t t2+3 = 1 t+ 3 t 。易知 对钩函数y=x+ 3 x 在(0,3)上单调递减,在 3, 8 3 上单调递增。因为g(t)>0,所以 g(t)max=g (3)= 3 6 。又 g (0)=0, g 8 3 =2491,所以g(t)min=0。 由上可得,g(t)max= 3 6 ,g(t)min=0,所 求f(x)max= 3 6 ,f(x)min=0。 感悟:对钩函数y=ax+ b x (常数a,b∈ R+)是奇函数,其 单 调 递 增 区 间 为 -∞, - b a , ba ,+∞ ,单 调 递 减 区 间 为 - b a ,0 ,0, ba 。 9 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 模型3:形如y=Aa2x+Bax+C(a>0, a≠1) 例3 已知函数f(x)=4x-2x+1-3, g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),若对于任意的 x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)= g(x2)成立,则实数m 的取值范围为 。 解:记f(x)=4x-2x+1-3,x∈[0,1]的 值域为A。令t=2x,t∈[1,2],则f(x)= 4x-2x+1-3等价于函数y=t2-2t-3= (t-1)2-4。因为y=t2-2t-3在t∈[1,2] 上递增,所以ymax=-3,ymin=-4,即 A= [-4,-3]。 记g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),x∈ [0,1]的值域为B。因为对称轴为x=2m≥ 2,所以g(x)=x2-4mx-2m 在x∈[0,1] 上递 减,所 以 g(x)max=g(0)= -2m, g(x)min=g(1)=1-6m,即 B=[1-6m, -2m]。 对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使 得f(x1)=g(x2)成立,则 A⊆B,需 满 足 1-6m<-2m, 1-6m≤-4, -2m≥-3, m≥1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 m> 1 4 , m≥ 5 6 , m≤ 3 2 , m≥1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即1≤m≤ 3 2 。 感悟:本题是利用换元化归求值域的,注 意题中t=2x,x∈[0,1],则t∈[1,2]为函数 y=t2-2t-3=(t-1)2-4的定义域。 模型4:函数f(x)= ax-1 ax+1 的奇偶性与 单调性 例4 已知0<a 且a≠1,函数f(x)= 4ax+2 ax+1 +xcosx(-1≤x≤1),设函数f(x) 的最大值是 M,最小值是N,则( )