03 巧思维切人，妙方法应用一道向量问题的解法探究-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

———一道向量问题的解法探究 ■王 含 平面向量融合了平面几何、平面解析几 何等“形”的几何内涵,以及函数与方程、三角 函数、不等式等“数”的代数性质,是一个内涵 丰富、知识交汇、技巧融合、思想交叉、方法灵 活的重要“场所”,一直是高考命题中比较常 见的一类基本题型,备受大家关注。下面就 一道平面向量问题的多种解法,展示给大家, 意在“抛砖引玉”。 题目 如图1,在平面四边形ABCD 中, ∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若 BD→= xBA→+yBC→,x,y∈R,则x-y 的值为 。 图1 方法1:三角形相似性质法 如图2所示,过D 作BC 的 垂线,交BC 延长线于点M。 图2 设∠BAC=α,则∠DCA=2∠BAC= 2α,∠ACB=90°-α,所以∠DCM=180°- 2α-(90°-α)=90°-α,所以 Rt△ABC∽ Rt△DMC,可得 DM AB= MC BC=k 。 因为BD→=xBA→+yBC→,所以x=DMAB= k,y= BM BC= MC+BC BC =k+1 ,所以x-y= k-(k+1)=-1。 方法2:三点共线性质法 如图3所示,延长 DC,AB 交于点E。 图3 因为∠DCA=2∠BAC,所以∠BAC= ∠CEA。又∠ABC=90°,所以BA→=-BE→。 而BD→=xBA→+yBC→,所以BD→=-xBE→+ yBC→。因为C,D,E 三点共线,所以-x+ y=1,即x-y=-1。 方法3:线性关系转化法 如图4所示,取AC 的中点 O。 图4 因为点O 是Rt△ABC 的外接圆圆心, 结 合 ∠DCA =2∠BAC,所 以 ∠BOC = 2∠BAC=∠DCA,所以OB∥CD,则CD→= 7 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 λBO→(λ∈R)。而BD→=BC→+CD→=BC→+λBO→ =BC→+λ2(BA →+BC→)=λ2BA →+λ+22 BC →= xBA→+yBC→,所以x=λ2,y= λ+2 2 ,所以x- y= λ 2- λ+2 2 =-1 。 方法4:坐标法 如图5所示,以B 为坐标原 点,BC、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系。设C(a,0)。 图5 由∠DCA=2∠BAC,易知直线CD 与 直线CA 关于直线x=a 对称。设直线CD 的方程为y=k(x-a)(k>0),则直线CA 的 方程为y=-k(x-a)。 令x=0,可得点A(0,ka)。由直线CD 的方程,可设 D(m,k(m-a)),结合BD→= xBA→+yBC→,可得(m,k(m-a))=x(0,ka) +y(a,0)=(ay,kax),所 以 m =ay 且 k(m-a)=kax,解得x= m-a a ,y= m a ,所以 x-y= m-a a - m a=-1 。 方法5:特殊图形法 如图6所示,在矩形ABED 中,C是BE 的中点,此时∠ABC =90°,∠DCA=2∠BAC,满足题设条件。 图6 由BD→=xBA→+yBC→,结合平面向量的 线性运算,可知x=1,y=2,所以x-y= -1。 方法6:极端法 在平面四边形 ABCD 中, 已 知 ∠ABC=90°,∠DCA = 2∠BAC。取极端点,让点 D 无限接近于点 C,结合BD→=xBA→+yBC→,此时x→0,y→1。 利用所求结论中的代数式x-y 为定值,可 得x-y=-1。 (多选题)下列说法中错误的是( )。 A.已知a=(1,2),b= 1,1 ,且a 与 a+λb的夹角为锐角,则λ∈ - 5 3 ,+∞ B.若 点 O 为 △ABC 的 内 心,且 OB→-OC→ · OB→+OC→-2OA→ = 0,则 △ABC 为等腰三角形 C.若a与b平行,则a 在b 方向上的投 影为 a D.若非零向量a,b 满足 a = b = a-b ,则b与a+b的夹角是60° 提示:a=(1,2),b= 1,1 ,且a 与a+ λb的夹角为锐角,所以a·(a+λb)=(1, 2)·(1+λ,2+λ)=3λ+5>0,且λ≠0(λ=0 时,a与a+λb的夹角为0),所以λ>- 5 3 且 λ≠0,A错误。 OB→-OC→ ·(OB→+OC→- 2OA→)=CB→· (OB→-OA→+OC→-OA→)= CB→·(AB→ +AC→)= (AB→ -AC→)(AB→ + AC→)=AB→ 2 -AC→ 2 =0,所以|AB→|=|AC→|,所 以△ABC 为等腰三角形,B正确。若a∥b, 则a在b方向上的投影的数量为±|a|,C错 误。因为|a|=|b|=|a-b|,所以|a|2= b 2=2a·b,则a·(a+b)=|a|2+a· b= 3