01 例析全称量词命题与存在量词命题的常见题型-《中学生数理化》高一数学2023年7-8月刊

■宋秀华 全称量词命题与存在量词命题是一类特 殊的问题,下面就这类问题的常见题型,进行 举例分析。 一、全称量词命题与存在量词命题的判断 例1 判断下列命题是全称量词命题还 是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示。 (1)自然数的平方大于或等于零 (2)有的幂函数图像经过点(1,1) (3)所有的二次函数的图像的开口都向上 (4)有些直角三角形的两锐角 A,B,使 得sinA=cosB 解:(1)全称量词命题。表示为∀n∈N, n2≥0。 (2)存在量词命题。∃幂函数,它的图像 过点(1,1)。 (3)全称量词命题。∀二次函数,它的图 像的开口都向上。 (4)存在量词命题。∃直角三角形的两 锐角A,B,使得sinA=cosB。 评注:判断一个命题是全称量词命题还 是存在量词命题的关键是看量词。由于某些 全称量词命题的量词可能省略,所以要根据 命题表达的意义判断,同时要会用相应的量 词符号正确表达命题。 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 例2 (1)命题“∀x∈R,ex+sin2x- 3>0”的否定为( )。 A.∀x∈R,ex+sin2x-3≤0 B.∃x∈R,ex+sin2x-3≤0 C.∃x∈R,ex+sin2x-3<0 D.∀x∈R,ex+sin2x-3<0 (2)命 题 “∃x∈R,2x >3x”的 否 定 是( )。 A.∀x∈R,2x>3x B.∀x∈R,2x≤3x C.∃x∈R,2x≤3x D.∃x∈R,2x<3x 解:(1)命题“∀x∈R,ex+sin2x-3> 0”为全称量词命题,其否定为:∃x∈R,ex+ sin2x-3≤0。应选B。 (2)命题“∃x∈R,2x>3x”为特称命题, 其否定为:∀x∈R,2x≤3x。应选B。 评注:全称量词命题的否定是存在量词 命题,存在量词命题的否定是全称量词命题。 三、全称量词命题与存在量词命题的真 假判断 例3 (多选题)有四个关于三角函数的 命题,其中真命题是( )。 A.∃x∈R,sinx+cosx=2 B.∃x∈R,sin2x=sinx C.∀x∈ - π 2 ,π 2 ,1+cos2x2 =cosx D.∀x∈ 0,π ,sinx>cosx 解:对 于 A,sin x + cos x = 2sinx+ π 4 ≤ 2,A 错 误。对 于 B,由 sin2x=sinx=2sinxcosx,可得sinx=0或 cosx= 1 2 ,所以∃x∈R,使得sin2x=sinx, B正确。对于C,∀x∈ - π 2 ,π 2 ,cosx> 0,所以 1+cos2x 2 = cosx =cosx ,C正 确。对于D,∀x∈ 0, π 4 ,sinx<cosx 成 立,D错误。应选BC。 评注:熟练掌握三角函数的图像与性质 是解答本题的关键。 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年7—8月 四、由全称量词命题与存在量词命题的 真假,确定参数的取值范围 例4 (1)若命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0” 为假命题,则实数a的取值范围是( )。 A.-∞,4 B.-∞,4 C.-∞,-4 D.-4,+∞ (2)若命题“∃x∈R,(a2-3a+2)x2+ (a-1)x+2<0”是真命题,则实数a 的取值 范围为 。 解:(1)因为命题“∀x∈R,x2-4x+a≠ 0”为假命题,所以“∃x0∈R,x20-4x0+a= 0”是真命题,所以方程x2-4x+a=0有实 根,所以Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4。应 选A。 (2)①若a2-3a+2=0,则a=1或a= 2。当a=1时,不等式为2<0,显然不成立; 当a=2时,不等式为x+2<0,显然∃x∈ R,使x+2<0成立,即a=2符合题意。 ②若a2-3a+2<0,则1<a<2,此时不等式 对应的一元二次函数的图像开口向下,符合 题意。③若a2-3a+2>0,则a<1或a>2, 此时不等式对应的一元二次函数的图像开口 向上,要使符合题意,只需方程(a2-3a+2)· x2+(a-1)x+2=0有两个不相等的实根, 所以Δ=(a-1)2-4×2(a2-3a+2)>0,解 得1<a< 15 7 ,所以2<a< 15 7 。 由①②③得实数a 的取值范围为1< a< 15 7 ,即a∈ 1, 15 7 。 评注:根据命题真假求参数的方法:利用 题目条件,推出每个命题的真假(有时不一定 只有一种情况);求出每个命题是真命题时参 数的取值范围;根据每个命题的真假情况,确 定出参数的取值范围。 五、由全称量词命题与存在量词命题的 否定的真假,确定参数的取值范围 例5 命题:∃x∈[1,4],x2-(a2- 4a-1)x+4<0的否定为真命题,则