专题2-9 函数的模型及应用6大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题2-9 函数的模型及应用6大考点 知识点一 几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 知识点二 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 考点一 二次函数模型 【例1】（2023·全国·高三对口高考）有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为p（万元）和q（万元），它们与投入的资金M（万元）的关系近似满足下列公式：，现有万元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元？获得的最大利润是多少万元？ 【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）如图是下水道的一种横截面，上部为半圆，下部为矩形，若矩形下底边长为，此横截面面积为y，周长为l（常量），求：    （1）y与x之间的函数表达式及其定义域； （2）的最大值. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？ 【变式1-3】（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系： （1）甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； （2）乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变） (3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少． 考点二 分式函数模型 【例2】（2023春·河南三门峡·高三校考阶段练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表. 上市时间/天 2 6 32 市场价/元 148 60 73 （1）根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式； （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价. 【变式2-1】（2021秋·山东泰安·高三校考阶段练习）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【变式2-2