专题3-1 导数的概念及运算8大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题3-1 导数的概念及运算8大考点 知识点一 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点二 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 考点一 导数的定义及应用 【例1】（2023·全国·高三练习）设函数在处存在导数为，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·河南·高三阶段练习）已知，则（ ） A． B．3 C． D．4 【变式1-2】（2023·高三课时练习）若在处可导，则可以等于（ ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 考点二 求函数的导数 【例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数的导函数为，则 . 【变式2-2】（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，则 ． 【变式2-3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）（多选）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·山东德州·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 考点三 “在”曲线上一点的切线 【例3】（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数在处的切线方程为 ． 【