微专题：导数的运算及其几何意义 讲义-2024届高三数学一轮复习

微专题：导数的运算及几何意义 原函数 导函数 知识点一：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点二：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则：. 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 知识点三：复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 知识点四：切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用 重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数 重点题型三：解析式中含的导数问题 重点题型四：求切线方程或切线斜率 重点题型五：利用相切关系求最小距离 重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用 例题1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确．故选：D 例题2．（2022·福建福安一中高二练习）记函数的导函数为．若，则（  ） A． B． C． D． 【详解】因为，则.故选：B. 例题3．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 例题4．求下列函数的导数. (1)；(2). (1) (2)，. 重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数 例题1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）设，，． （2）设，，，则． （3）设，，，则． （4）设，，则 例题2．（2022·全国·高二专题练习）求下列函数的导数： (1)；(2). 【答案】（1）因为，所以. （2）. 例题3．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)； (2) (3) 【答案】(1)(2) (3) 例题4．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【详解】（1）． （2）方法一： ． 方法二：∵，∴． （3）∵，∴． （4）∵，∴． （5）方法一：． 方法二：∵∴． 重点题型三：解析式中含的导数问题 例题1．已知函数 的导函数为，且满足，则 （   ） A． B． C．1 D． 【详解】由，可得，所以 ，则 .故选：B. 例题2．已知函数的导数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，解得：，，.故选A. 例题3．（2022·天津一中高三）已知函数的导函数，满足，则等于__________. 【详解】由，得，令，得，解得， 所以，故答案为：. 例题4．已知函数的导数是，且满足，则 __________． 【详解】由得，，则，可得，则，. 例题5．已知函数的导函数，满足，则等于___________. 【详解】∵，∴，∴，即.故答案为：. 重点题型四：求切线方程或切线斜率 角度1：在型求切线方程 例题1．（2022·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】对函数求导得,故当时,斜率， 又切线过点，故切线方程为，即故选：C. 变式1：已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，切线和垂直，切线斜率显然存在，设为，根据直线垂直的斜率关系可得，，那么切线斜率，由导数的几何意义：，而，，解得.故选D 变式2：若曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是_________ 变式3：若曲线在点（0,1）处的切线与直线平行，且切线与之间的距离为，则直线的方程为_________ 变式4b：设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，则a－b的值为______ 变式5b：若函数