二次函数的解析式 讲义——2023年暑期初升高数学衔接教材

初升高之二次函数的解析式 资料编号:202307230946 本节衔接概况 在初中阶段,我们比较详细地学习了求解二次函数的解析式,在此基础上研究了二次函数的图象和性质.事实上,研究新函数的图象和性质,往往要先确定函数的解析式,随着初中学习的结束,我们知道如果已知函数的类型,那么利用待定系数法求解函数的解析式.在高中阶段,我们要学习函数的一些其它的性质,如单调性、奇偶性等,也常常以二次函数为例进行研究,为此,我们有必要强化一下二次函数解析式的求法. 本节知识梳理 二次函数的解析式有两种常见形式: （1）一般式:（）; （2）顶点式: （）,其中顶点坐标是. 求二次函数的解析式,就是求或的值.常用待定系数法求二次函数的解析式. 除了以上两种形式,二次函数的解析式还有一种形式:交点式. 对于二次函数（）,若其图象与轴交于、两点,则其解析式可以表示为（）.这就是交点式. 事实上,若抛物线与轴交于、两点,则一元二次方程 （） 有两个实数根,由根与系数的关系定理可得: 所以,. 今后,如果已知抛物线与轴的两个交点坐标,我们可以把抛物线的解析式设为交点式. 如果已知抛物线上三个点的坐标,则把抛物线的解析式设为一般式;如果已知抛物线的顶点坐标和另一点,则把抛物线的解析式设为顶点式. 例题讲解 例1. 已知二次函数的图象过点,,,求此二次函数的解析式. 解析 如果已知二次函数图象上三个点的坐标,那么应把二次函数的解析式设为一般式,用待定系数法求解. 解:设此二次函数的解析式为,由题意可得: ,解之得: ∴此二次函数的解析式为. 例2. 已知二次函数的图象过点,,且顶点到轴的距离等于2,求此二次函数的解析式. 分析 我们可以根据抛物线上纵坐标相同的两个点确定抛物线的对称轴. 如图所示,如果,是二次函数图象上的两点（纵坐标相同）,则 得:. 因为,所以. 因为抛物线的对称轴为,所以.反之,如果为抛物线的对称轴,那么对应的函数值相等. 解:由题意可知:此二次函数图象的对称轴为直线,顶点坐标为或. 当顶点坐标为时,设该二次函数为,把代入可得: ,解之得:,所以; 当顶点坐标为时,设该二次函数为,把代入可得: ,解之得:,所以. 综上所述,此二次函数的解析式为或. 例3. 已知某二次函数图象的顶点为,它与轴两个交点之间的距离为6,求此二次函数的解析式. 解:由题意可知:此二次函数的图象与轴两个交点的坐标为,. 设此二次函数的解析式为,把代入得: ,解之得: ∴此二次函数的解析式为. 例4. 已知二次函数同时满足下列条件:（1）对称轴为;（2）最大值为15;（3）二次函数的图象与轴有两个交点,其横坐标的立方和为17.求此二次函数的解析式. 解:由题意可知:此二次函数图象的顶点坐标为 可设其解析式为. 由题意可知,方程有两个不相等的实数根,设为,由根与系数的关系定理可得:. ∵ ∴,解之得: ∴此二次函数的解析式为. 例5. 已知一抛物线的形状与抛物线的形状相同,它与轴的两交点之间的距离为2,它的对称轴是直线,求此抛物线的解析式. 分析 抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定:二次项系数的绝对值决定抛物线的开口大小,符号决定开口方向. 如果两条抛物线的形状相同,则它们二次项系数的绝对值相等. 解:由题意可知,该抛物线与轴的两交点为和 可设其解析式为 ∵该抛物线的形状与抛物线的形状相同 ∴,∴. ∴该抛物线的解析式为或 即该抛物线的解析式为或. 例6. 已知二次函数图象的对称轴为直线,且方程有两个相等的实数根. （1）求二次函数的解析式; （2）求二次函数在1≤≤3上的最大值和最小值. 解:（1）由题意可知:. 由得: ∴ ∴ ∵该方程有两个相等的实数根 ∴ 解方程组得: ∴该二次函数的解析式为; （2）由（1）可知: ,其图象开口向下,对称轴为直线 ∵1≤≤3 ∴当时,;当时,. 例7. 已知是二次函数,且,求的解析式及其最值. 分析 已知函数类型求函数解析式,使用待定系数法. 解: 可设 ∵ ∴ 整理得: ∴ ∴,解之得: ∴; （2）∵ ∴当时,,函数无最大值. 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $