二次函数图象的变换讲义-2023年暑期初升高数学衔接教材

初升高之二次函数图象的变换 资料编号:202307230801 这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换. 二次函数图象的平移变换 二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴. 一般地,二次函数（）的图象是由二次函数的图象沿轴正方向向上平移个单位长度得到的;二次函数（）的图象是由二次函数的图象沿轴正方向向下平移个单位长度得到的. 抛物线的对称轴是轴,顶点坐标是.如例图（1）所示. 一般地,二次函数的图象是由二次函数的图象沿轴向左（）或向右（）平移个单位长度得到的. 抛物线的对称轴是直线,顶点坐标是.如例图（2）所示. 一般地,二次函数的图象是由二次函数的图象先沿轴向左（）或向右（）平移个单位长度,再向上（）或向下（）平移个单位长度得到的. 抛物线的对称轴为直线,顶点坐标是.如下页例图所示. 二次函数图象的对称变换 如果两个二次函数的图象关于轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于轴对称,与轴的交点关于轴对称.故两个二次函数的解析式的值互为相反数. ①若二次函数的解析式为顶点式,则与其图象关于轴对称的二次函数的解析式为; ②若二次函数的解析式为一般式,则与其图象关于轴对称的二次函数的解析式为. 高中知识点 函数与函数的图象关于轴对称. 如例图（3）所示. 如果两个二次函数的图象关于轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大小相同,与轴的交点相同,对称轴关于轴对称,顶点坐标关于轴对称.故两个二次函数的解析式的值相等. ①若二次函数的解析式为顶点式,则与其图象关于轴对称的二次函数的解析式为 ②若二次函数的解析式为一般式,则与其图象关于轴对称的二次函数的解析式为. 高中知识点 函数与函数的图象关于轴对称. 如例图（4）所示. 二次函数图象的翻折变换 在同一平面直角坐标系中,通过对二次函数图象的翻折变换,可以得到函数的图象和函数的图象. 先画出二次函数的图象,保留轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方,即可得到函数的图象 如下页例图（5）所示. 先画出二次函数的图象,保留轴上及其右侧的图象,把轴右侧的图象翻折到轴左侧,即可得到函数的图象. 如下页例图（6）所示. 高中知识点 在同一平面直角坐标系中,通过对函数图象的翻折变换,可以得到函数和的图象. （1）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方即可; （2）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其右侧的图象,把轴右侧的图象翻折到轴左侧即可. 例题讲解 例1. 把抛物线向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为【 】 （A） （B） （C） （D） 分析 将函数的图象左右平移时,其解析式将发生有规律的变化——遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”的原则. 将二次函数的图象左右平移,其图象的开口方向和开口大小保持不变,所以平移前后的值不变,改变的是图象的顶点坐标和对称轴.其中顶点坐标的改变遵循“左减右加”的原则. 解析 由题意可知,平移后抛物线的解析式为. 另外,抛物线的顶点坐标为,平移后函数图象的顶点坐标为,所以由顶点式可知平移后抛物线的解析式为. 所以选择答案【 D 】. 例2. 函数的图象可由函数的图象平移得到,平移的方法是【 】 （A）先向右平移3个单位,再向下平移4个单位 （B）先向右平移3个单位,再向上平移4个单位 （C）先向左平移3个单位,再向下平移4个单位 （D）先向左平移3个单位,再向上平移4个单位 分析 首先,要确定函数的图象是平移的对象,平移后得到抛物线. 解析 将函数的图象先向右平移3个单位,得到函数的图象,再向下平移4个单位,得到函数的图象. ∴选择答案【 A 】. 例3. 抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得到抛物线,则平移前抛物线的解析式为________________. 分析 把抛物线向左平移3个单位,在向上平移2个单位,即可得到平移前的抛物线. 解析 ∵ ∴平移前抛物线的解析式为. 即. 例4. 已知二次函数. （1）图象关于轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于轴对称的抛物线的解析式为________________. 分析 （1）抛物线关于轴对称的抛物线为; （2）抛物线关于轴对称的抛物线为. 解析 （1）; （2）. 例5. 已知二次函数. （1）图象关于轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于轴对称的抛物线的解析式为________________. 分析 （1）抛物线关于轴对称的抛物线为; （2）抛物线关