专题4.2 利用导数研究函数单调性 讲义——2024届高考数学一轮复习

专题4.2 利用导数研究函数单调性 1.函数的单调性与导数正负之间的关系（导函数看正负、原函数看增减） 函数在某个区间内可导，则： (1)若，则在这个区间内单调递增； (2)若，则在这个区间内单调递减； (3)若，则在这个区间内是常数函数. 2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求出导数的零点； (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性. 重要结论： 1.在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2.对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件. 3.可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有且在上的任何子区间内都不恒为零． 附：①若在区间I上可导，,且，在区间I上单调递增； ②若在区间I上可导，,且，在区间I上单调递减； 1.【人教A版选择性必修二 练习 3 P89】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版选择性必修二 习题5.3 13 P99】已知函数，讨论的单调性．  3.【人教A版选择性必修二 练习 2 P87】已知函数，讨论函数的单调性． 4.【人教A版选择性必修二 例4 P89】 已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是          用“”连接 考点一 函数单调性与导数正负之间的关系 【方法储备】 函数的单调性与导数正负之间的关系 一般地，的单调性与导数正负之间具有如下关系： 在某个区间内，如果，那么函数在内单调递减; 在某个区间内，如果.，那么函数在内单调递减; 【典例精讲】 例1（2022·河北省期中)如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数(     ) A. B. C. D. 例2（2023·广东省模拟)将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2022·广东省期末)已知的图象如图所示，其中是函数的导数，则所给选项的四个图象中，函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2023·江西省模拟)已知函数与的图象如图所示，则函数(     ) A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数 考点二 导数在函数单调性研究中的应用 【方法储备】 判断函数单调性的一般思路： 1.已知函数图象时，可根据图象判断函数单调性（求单调区间）， 2.复合函数的单调性，遵从同增异减原则. 3.已知函数解析式判断函数单调性（求单调区间） ①当不等式或可解时，确定函数的定义域，解不等式或判断函数单调性（求单调区间）． ②当方程可解时，确定函数的定义域，解方程，求出实数根，把函数的实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定在各个区间内的符号，判断函数单调性． ③不等式或及方程均不可解时，根据的结构特征，构造新函数，通过研究的单调性来确定的符号，从而确定的单调性． 根据函数单调性求参数的一般思路： 1.已知函数在上单调： (1)利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子区间； (2)转化为恒成立问题处理：对任意的都有()，且在内的任一非空子区间上，不恒为零（应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解）． 2.已知函数在上存在单调区间：转化为不等式有解问题． 3.已知函数在上不单调：转化为方程有解问题. 【典例精讲】 例3.（2022·山东省单元）下列区间是函数的单调递减区间的是(    ) A. B. C. D. 例4.(2022·安徽省单元）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的性质来琢磨函数图象的特征，则下图最有可能是下列哪个函数的草图(    ) A. B. C. D. 例5.(2022·北京市单元)设函数当时，求的单调区间． 例6.(2022·江苏省单元)已知奇函数的定义域为，且，则的单调递减区间为          ；满足以上条件的一个函数是          ． 【拓展提升】 练2-1(2023·广东省期中)设函数，若函数在上是单调减函数，则的取值范围是          ． 练2-2(2023·湖北省期末）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D.