3.6函数与方程讲义-2024届高考数学一轮复习

【主题二 函数】 专题3.6 函数与方程 1.函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，把使的实数x叫做函数的零点． （2）特别提醒： ①函数的零点不是点，是图象与轴交点的横坐标，也是方程的实根； ②函数零点的存在性定理：只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点. 2.三个等价关系： 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 3.零点存在性定理 如果函满足两个条件： ①在区间上的图象是连续不断的一条曲线； ②； 则函数在上存在零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 【重要结论】 ⑴连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. ⑵该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点. ⑶若图象连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点． ⑷图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． ⑸图象连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． ⑹周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 4. 二分法 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值． 1.【人教A版必修一 习题4.5 第1题 P155】（多选）如图是函数的图象，它与轴有个不同的交点，给出下列四个区间，能用二分法求出函数零点的是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一 习题4.5 第7题 P155】已知函数，且． 求证：函数有两个不同的零点 设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围 求证：函数在区间内至少有一个零点． 考点一 二分法 【方法储备】 给定精确度，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证. ②求区间的中点. ③计算，并进一步确定零点所在的区间： (i)若(此时)，则就是函数的零点； (ii)若(此时)，则令； (iii)若(此时)，则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)；否则重复步骤②～④. 【典例精讲】 例1.(2022·安徽省合肥市联考) 用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解精确到为参考数据：，，(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·湖北省荆门市月考) 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道，令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于的次数为(    ) A. 五 B. 四 C. 三 D. 二 练1-2(2022·江西省宜春市模拟) 若函数的一个零点正数附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 则方程的一个近似解精确度为           考点二 判断函数零点所在区间 【方法储备】 判断函数零点所在区间的方法： 1.利用函数的零点存在性定理判断：先判断函数图象在给定区间上是否连续，再判断区间端点处的函数值是否异号； 2.数形结合法：作出函数图象，通过图象与轴的交点来确定. 【典例精讲】 例2.(2023·北京市期末) 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是(    ) A. B. C. D. 例3. (2022·吉林省期中)（多选）函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1(2022·安徽省安庆市二模) 函数恰有两个零点，，且则所在区间为(    ) A. B. C. D. 练2-2(2022·河北省联考) 定义在上的单调函数，，，则方程的解所在的区间是          区间长度不大于 【方法储备】考点三 判断函数零点个数 判断函数在区间上零点个数的方法： 1.直接法：令，方程根的个数，即为函数零点个数； 2.定理法：①要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线；②确定函数在区间上的单调性 ③每一个单调区间内分别确定端点处函数值是否异号，从而确定是否存在零点； 3.图象法：①画出函数的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；②将函数拆成两个函数和的差，令，则函数的零点个数即为函数和的图象的交点个数. 4.性质法：①若函数具有奇偶性：轴左右两侧零点个数相同；②若函数具有周期性：先确