专题3.5 函数的图象讲义——2024届高考数学一轮复习

【主题二 函数】 专题3.5 函数的图象 1．利用描点法作函数的图象 步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；（4）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2．作出常见函数的图象 ⑴作出基本初等函数的图象：常数函数、一次函数、反比例函数、二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数、三角函数； ⑵用五点法作三角复合函数的图象； ⑶结合抽象函数的单调性、奇偶性，特殊点，作出抽象函数的大致图象. 3．利用图象变换法作函数的图象 ⑴平移变换 ⑵对称变换 的图象的图象； 的图象的图象； 的图象的图象； (，且)的图象 (，且)的图象. ⑶伸缩变换 →． →． ⑷翻折变换 的图象的图象； 的图象的图象. 4．借助导数作出函数大致图象 步骤：（1）求导，确定函数的单调区间； （2）借助极值点、极值、最值、零点或其他特殊点作出函数大致图象. 5．函数图象取自圆锥曲线的一部分 函数的解析式通过变形，变成圆锥曲线的方程，结合函数解析式求出的取值范围，即可明确函数图象. 【重要结论】 1.函数与的图象关于直线对称； 2.函数与的图象关于点中心对称； 3.若函数对定义域内任意自变量x满足：，则函数的图象关于直线对称； 5.图象的左右平移仅仅是相对于而言，如果的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换； 6.图象的上下平移仅仅是相对于而言的，利用“上减下加”进行. 1.【人教A版必修一 习题4.4 第6题 P140】函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成． 求的解析式； 若，求的取值范围． 2.【人教A版必修一 复习参考题4 第13题 P161】为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克立方米时，顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度毫克立方米与时间分钟之间的函数关系为函数的图象如图所示如果商场规定顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是(    ) A. B. C. D. 考点一 函数图象的识别 【方法储备】 1. 给出函数选图象：确定函数的图象主要用排除法 ⑴定性：① 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；② 从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的周期性，判断图象的循环往复；④ 由函数的奇偶性，判断图象的对称性. ⑵定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题. 2. 给出图象选函数：通过图象体现出的函数的性质（奇偶性、单调性、特值等），利用排除法选出正确选项. 【典例精讲】 例1. (2023·天津市真题) 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为(    ) A. B. C. D. 例2. (2023·江苏省南京市期中)函数在区间上的大致图象为(    ) A.   B.   C.   D. 【拓展提升】 练1-1(2023·北京市市辖区期末) 年月日，长征五号遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度单位：和燃料的质量单位：、火箭除燃料外的质量单位：的关系满足，，，之间的关系如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 当，时， B. 当，时， C. 当，时， D. 当，时， 练1-2(2023·湖北省高三质检) 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为(    ) A. B. C. D. 考点二 利用函数图象解不等式（方程） 【方法储备】 1.利用函数的图象解不等式： 不等式不能用代数法求解时，转化为两个函数图象的上下位置关系问题；或函数图象与坐标轴的位置关系问题，通过画出函数图象可以直观地求解不等式. 2.利用函数的图象研究方程根的个数： ⑴方程的根即为函数的图象与轴交点的横坐标； ⑵方程的根就是函数与图象交点的横坐标． 【典例精讲】  例3. (2023·北京市模拟)已知函数，那么不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例4. 当时，，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例5. (2023·湖北省模拟)已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1(2022·海南省海口市月考)已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，为偶函数，为奇函数，，当时，，则当时，的解集为(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·浙江省联考) 设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是