专题3.4 基本初等函数及其应用 讲义——2024届高考数学一轮复习

【主题二 函数】 专题3.4 基本初等函数及其应用 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数. （2）常见的5种幂函数的图象 （3）常见的5种幂函数的性质 函数 性质 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 定点 单调性 1.第一象限的单调性：①当时，单调递增；②当时，单调递减；③当时，无单调性； 2.若函数在第二或第三象限有图象，结合函数奇偶性，得出函数的单调性. 图象 1.一定过第一象限，不过第四象限； 2. 在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【重要结论】 1.幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2.在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴． 2.根式和分数指数幂 ⑴n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 x仅有一个值，记为 n是偶数 a＞0 x=± a＜0 x不存在 ⑵根式 （1）概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. （2）性质：①()n＝a； ② ⑶分数指数幂 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. （2）有理指数幂的运算性质：；；，其中. 3.指数函数的图象和性质 （1）概念：函数叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数. （2）指数函数的图象与性质: y＝ax 当底数a的范围不明确时，应分与讨论 图象 画指数函数的图象，应抓住三个关键点： . 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0. 规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 性质 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上是增函数 在上是减函数 与的图象关于轴对称 4．对数的概念及其运算 概念 如果(,且)，那么数叫做以为底数的对数， 记作，其中叫做对数的底数，叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化： ⇔（） （） 运算法则 换底公式 重要公式 ,(均大于零且不等于1) 5．对数函数的图象和性质 （1）概念：函数叫做对数函数，其中是自变量. （2）对数函数的图象与性质 当底数的范围不明确时，应分与讨论 图象 对数函数的图像过定点，且过点函数图像只在第一、四象限. 作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故. 规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 定义域 值域 定点 性质 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上是增函数 在上是减函数 与的图象关于轴对称 ⑶反函数 对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． 【重要结论】 求与对数函数有关的函数的定义域，列不等式组时，要注意对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 6．函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 (k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 (为常数，) 指数函数模型 (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 (a，b为常数，a≠0) 7.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 1.【人教A版必修一 3.3 练习1 P91】已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为          ；关于的不等式的解集为