专题3.3 函数的性质及应用讲义——2024届高考数学一轮复习

专题3.3 函数的性质及应用 1．函数的奇偶性 ⑴ 奇偶性的概念 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 ⑵ 奇、偶函数的性质 ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称； ②若奇函数的定义域包含0，则； ③奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ④奇函数：；偶函数：； ⑤奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反． 【重要结论】 1.若函数的图象是由函数的轴右侧图象翻折到轴左侧，函数是偶函数； 2.二次函数 为偶函数； 3.三次函数为奇函数时； 4.常用的两个等价关系 ⑴为偶函数的图象关于直线对称. ⑵为奇函数的图象关于点对称. 5.熟记常见函数的奇偶性 奇函数：、、 、、 、、 偶函数：、、 2．函数的周期性 ⑴ 周期性的概念 ①周期函数：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有 ,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. ⑵ 函数周期性常用结论 对定义域内任一自变量： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 3.函数图象的对称性 已知函数是定义在上的函数. ⑴轴对称：若恒成立,则的图象关于直线对称； 逆用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：； （2）点对称：若,则的图象关于点对称； 最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：. 1.【人教A版必修一 3.2.2奇偶性 练习1 P85】已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一 习题5.4 第12题P214】对于四个函数，，，，下列说法错误的是(    ) A. 不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心 B. 是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴 C. 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴 D. 是偶函数，最小正周期是，没有对称中心 考点一 函数的奇偶性及应用 【方法储备】 1.函数奇偶性的判断 ⑴定义法：①判断定义域是否关于原点对称；②若对称，判断与的关系；③结论. ⑵图象法：图象关于原点对称，函数为奇函数；图象关于轴对称，函数为偶函数. ⑶性质法：设的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 2.函数奇偶性的应用 (1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解； (2)求函数解析式：已知为奇函数或偶函数，且已知时的解析式，求时的解析式.先设，则，则可求出的解析式，再根据或，求得.若为奇函数，定义域内有0，则. ⑶求解析式中的参数值： ①若表示定义域的区间含有参数，则利用定义域关于原点对称求参. ②利用恒成立来确定参数的值；也可利用特殊值法求解，若定义域内有,则利用求参；对于在处有定义的奇函数，可利用求解．　 ⑷画函数图象：利用奇函数或偶函数的图象的对称性，可画出函数在某区间对称区间上的图象； ⑸求最值：① 奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则； ② 偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值. ⑹判断函数单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性． 【典例精讲】 例1.(2022·河南省省级联考)（多选）下列函数中，存在实数，使函数为奇函数的是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·江苏省常州市月考) 若函数的图象关于原点对称，则(    ) A. B. C. D. 例3. (2023·河北省石家庄市月考) 已知函数为定义在上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为          ． 【拓展提升】 练1-1(2023·河北省石家庄市期末)（多选）以下关于函数，的四个命题中，正确的有 (    ) A. 若，则的图象关于直线对称 B. 若，则的图象关于对称 C. 若为偶函数，且，则的图象关于直线对称 D. 若，则是周期函数，周期为 练1-2(2022·湖南省长沙市模拟)（多选） 若对函数，存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，则称函数为“准奇函数”，则下列函数是“准奇函数”的是(    ) A. B. C. D. 练1-3(2022·河南省商丘市月考)（多选）已知函数的图象关于对称，且对，当且时，成