3.2 函数的单调性与最值讲义-2024届高考数学一轮复习

专题3.2 函数的单调性与最值 1. 函数的单调性 若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量，当时， （1）都有,那么就说函数在区间上单调递增； （2）都有，那么就说函数在区间上单调递减. 2.增（减）函数 当函数在定义域上单调递增时，则称为增函数； 当函数在定义域上单调递减时，则称为减函数. 3.单调区间的定义 若函数在区间上单调递增或单调递减，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间. 【重要结论】 ⑴函数单调性研究的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，若函数在单调区间的端点处有意义，则该点处区间可开可闭，否则为开区间． ⑵单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； ⑶若有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． ⑷求函数的单调区间必须先求定义域，单调区间定义域. 4.单调性性质 （1）函数与(为常数) 具有相同的单调性； （2）时,函数与单调性相同；时, 函数与单调性相反； （3）若恒为正值或恒为负值,则与具有相反的单调性； （4）若,都是增(减)函数,当时,则是增(减)函数; 当时,是减(增)函数； （5）在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减； （6）奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反). 5.函数的最值 （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有； ②存在，使得； 那么，我们称是函数的最大值. （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有； ②存在，使得； 那么，我们称是函数的最小值. 1.【人教A版必修一3.2.1练习4 P79】已知函数是定义域在上的奇函数， 当时，． 求出函数在上的解析式； 画出函数的大致图象并写出函数的单调区间． 2.【人教A版必修一3.2.1练习3 P81】已知函数完成下面两个问题： 画出函数的图象，并写出其单调增区间； 求函数在区间上的最大值． 考点一 判断函数的单调性(区间) 【方法储备】 函数单调性的判断方法： ⑴定义法： 在定义域内的某个区间上任取,并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性.即：取值、作差、变形、定号、结论. ①几何意义：增(减)函数图象上任意两点连线的斜率恒大于(或小于)零. ②等价变形：,当时， i.都有,那么就说函数在区间上单调递增； ii.都有，那么就说函数在区间上单调递减. ⑵性质法： 利用函数单调性的性质判断函数单调性. ⑶复合函数法： 对于函数，可设内层函数为，外层函数为，遵循“同增异减”判断复合函数的单调性.即内层函数与外层函数在区间上的单调性相同，则函数在区间上单调递增；内层函数与外层函数在区间上的单调性相反，则函数在区间上单调递减. ⑷导数法： 对于函数，在区间上，那么在该区间上单调递增； 在区间上，那么在该区间上单调递减. ⑸图象法： 若已知函数图象或作出函数图象，通过观察函数图象的相关性质来判断函数在各个区间上的单调性. 注意：抽象函数的单调性可用定义法判断，或借助其他性质进行判断. 【典例精讲】 例1.(2022·广东省揭阳市月考) 下列函数中，满足“，且，”的是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·湖北省鄂州市月考) 函数的单调增区间为(    ) A. B. C. D. 例3.(2023·山东省威海市模拟) 函数的单调递减区间是          ． 例4.(2023·浙江省温州市月考)（多选） 下列函数在上是单调函数的是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·浙江省温州市期中)（多选） 已知函数的定义域为，满足对任意，，都有，且时，，则下列说法正确的是(    ) A. 或 B. 当时， C. 在是减函数 D. 存在实数使得函数在是减函数 练1-2(2022·湖北省武汉市联考) 已知函数 讨论的单调性； 若在区间内不是单调函数，求的取值范围． 考点二 函数单调性的应用 【方法储备】 1.利用单调性比较大小: ⑴若可看作函数的3个函数值，则判断函数的单调性，根据自变量的大小，比较函数值的大小； ⑵若可看作函数的3个函数值，则根据作差、坐商、放缩等方式，构造函数求最值，比较的大小. 2.利用单调性解不等式： 思路：①先利用函数的相关性质将不等式转化为的形式；②判断函数的单调性；③根据函数的单调性及其他性质，进一步得到与的关系，解不等式（组），结合定义域确定解集. 3.利用函数单调性求参数的取值范围： ⑴ 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，判断函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ⑵若已知函数在区间上单调变化，求函数的单调区间，则区间为函数