3.1 函数的概念及其表示讲义-2024届高考数学一轮复习

专题3.1 函数的概念及其表示 1.函数的概念 函数 两个集合 设是两个非空实数集 对应关系 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从集合到集合的一个函数 2.函数的定义域、值域 (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系； (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3.基本初等函数的值域 ⑴的值域是. ⑵的值域是：当时，值域为；当时，值域为． ⑶的值域是. ⑷的值域是. ⑸的值域是. ⑹的值域是，的值域是. 【重要结论】 1.判断两个函数是否为相同函数：一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同； 2.判断图象是否为函数图象：直线与图象至多有一个交点. 4．函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量的值. 就是将变量的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 5.分段函数 (1)分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数； (2)定义域：各段函数的定义域的并集； (3)其值域:各段函数的值域的并集. 1.【人教A版必修一 3.1.1例3 P66】下列函数中，与有相同图象的函数是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一 习题3.1 第7题 P73】（多选）画出函数的图象，并求出，，的值和的值域． 考点一 求函数的定义域 【方法储备】 1.求函数的定义域: 研究函数问题都应该注意“定义域优先” （1）求具体函数的定义域 i）函数用解析式表示：求定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化. 一般通过列不等式(组)求其解集，列不等式的基本原则有： ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0；若偶次根式作分母，偶次根式根号内的式子大于0； ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正切函数的定义域为， ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义. ii）函数用列表或图象表示：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合. 注意：⑴不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； ⑵定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接．　 （2）求抽象函数的定义域 ①已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域; ②已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域； ③已知的定义域，求的定义域: 可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域； ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的. 2.已知函数的定义域求参数的取值范围：通常转化为恒成立问题解决． 【典例精讲】 例1.(2022·广东省佛山市月考) 已知函数，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·湖北省武汉市期中) 若函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 例3.(2023·浙江省温州市月考) 若函数的定义域为，则的取值范围是          ． 【拓展提升】 练1-1(2023·山东省青岛市期末) 函数的定义域为          ． 练1-2(2022·湖南省长沙市模拟)（多选） 已知函数的定义域为，值域为，则(    ) A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的定义域和值域都是 D. 函数的定义域和值域都是 考点二 求函数的解析式 【方法储备】 求函数的解析式的常用方法： ⑴待定系数法： 已知的类型，可先设出的表达式，再根据已知条件，求出待定的参数，求得的表达式. ⑵换元法： 已知的解析式，先设，转化为，再代入的表达式，得到的解析式，即为的解析式. ⑶配凑法： 已知的解析式，将解析式配凑成的运