专题2.2 基本不等式 讲义——2024届高考数学一轮复习

专题2.1 基本不等式 1. 基本不等式: 如果（当且仅当时等号成立）, 其中为这两个正数的几何平均数，为这两个正数的算术平均数，即两个正数的几何平均数小于等于它们的算术平均数. 2.基本不等式的常见结论： （1）， （2） （3） 以上不等式等号成立的条件均为. 3.利用基本不等式求最值： 已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值（简记：积定和最小）； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值（简记：和定积最大）. 1.【人教A版必修一 习题2.2 第1题 P48】已知，则函数的最大值是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一 习题2.2 第4题 P48】已知，，均为正实数． 求证：． 若，求证：． 考点一 利用基本不等式求最值 【方法储备】 利用基本不等式求最值，通常有两种方法： 1.拼凑法：对题目代数式进行“添项、拆项、变系数”等方法凑成“和为定值”或“积为定值”，再利用基本不等式求解； 2.巧用“1”法：根据求解将已知条件变换为常数“1”，再将“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或替换某个部分，进而构造成和或积为定值，再利用基本不等式求解. 特别提醒：在利用基本不等式求最值过程中需要注意变量为正数的要求及等号成立条件的验证. 【典例精讲】 例1. （2023·安徽省滁州市·月考） 已知，求的最小值； 已知，求的最大值． 例2.(2023·湖南省长沙市·月考)已知，为正实数且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2022·海南省·模拟题)若圆关于对称，则的最小值为          ． 练1-2(2023·浙江省·期中考试)已知函数，若正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2022·江苏省·月考)已知，，写出一个关于与的等式，使是一个变量，且它的最小值为，则该等式为          ． 考点二 基本不等式的综合应用 【方法储备】 利用基本不等式求参数或解决恒成立问题在高考中也经常出现，偶尔也会出现基本不等式的实际应用问题 1.基于类型的构造：此类题型的切入口是将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、变量代换、整体代换等. 2.利用基本不等式解决恒成立和存在性问题 此类问题一般先利用参变分离转化为求函数的最值，转化过程中注意以下结论： 恒成立问题:①若在区间上存在最小值，则不等式在区间上恒成立 ②若在区间上存在最大值，则不等式在区间上恒成立 存在性问题:①若在区间上存在最大值，则在区间上存在使成立 ②若在区间上存在最小值，则在区间上存在使成立 3.利用基本不等式解决实际问题 在实际问题中首先根据题意列出函数表达式，再利用基本不等值进行求解，过程中注意函数定义域，验证基本不等式成立的条件. 【典例精讲】 例3. (2022·广东省佛山市·月考)已知，，且，求的最小值为(    ) A. B. C. D. 例4. (2023·山东省·月考)若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 例5. (2023·江苏省徐州市·期末考试)如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点处离地面，若从离地高的处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1(2023·黑龙江省绥化市·期末考试)若实数，满足，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·浙江省·联考题)已知正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练2-3(2022·安徽省安庆市·月考)在中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D.    1. (2023·广东省·月考)非零实数，，满足，，成等差数列，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.(2023·浙江省·月考)（多选）已知，且，则( ) A. B. C. D. 3.(2023·广东省深圳市·月考试卷)已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是          ． 【答案解析】 1.【人教A版必修一 习题2.2 第1题 P48】 解：因为，所以， 所以函数， 当且仅当即时取等号． 故选A． 2.【人教A版必修一 习题2.2 第4题 P48】 证明：因为，，都是正数， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以； ， 当且仅当时等号成立．． 例1.解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为． 例2.解：由可知，则 ， 当，即，时，等号成立． 故答案选：