专题2.1 不等式的性质与解法 讲义——2024届高考数学一轮复习

专题2.1 不等式的性质与解法 9 1.实数大小与运算性质之间的关系 ；；. 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆 可乘性 的符号 同向可加性 同向 同向同正可乘性 同向，同正 同正可乘方性 同正 同正可开方性 同正 重要结论： ⑴倒数的法则与性质 （1） （2） （3） （4） ⑵有关分数的性质 若,则 ① ， ②. 3.二次函数的图象与性质 ⑴二次函数解析式的三种形式 ①一般式：； ②顶点式：；为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，为二次函数的零点. (2)二次函数的图象与性质： 解析式 图象 开口 当时，开口向上 当时，开口向下 定义域 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于对称 奇偶性 当时，二次函数为偶函数；当时，二次函数为非奇非偶函数 4.三个“二次”之间的关系 ⑴一元二次不等式 一般地，只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式. 使某个一元二次不等式成立的的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. ⑵关于的一元二次不等式或的解集； 若二次函数为，则一元二次不等式或的解集， 即为二次函数的函数值为正值或负值时自变量的取值的集合. ⑶三个“二次”之间的关系 一元二次不等式的解集的端点是一元二次方程的根，也是函数的图象与轴交点的横坐标. 设，方程的判别式 判别式 解不等式 或的步骤 求方程的解 有两个不等的实数解 有两个相等的实数解 没有实数解 画函数的示意图 得不等式的解集 1.【人教A版必修一 习题2.1 第7题 P43】已知，，，则下述一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一 习题2.3 第3题 P55】已知集合，则集合的真子集个数为(    ) A. B. C. D. 考点一 不等式的性质及应用 【方法储备】 1.比较两个数(式)的大小 （1）作差法； （2）作商法；； 步骤：作差（作商）变形与0（与1）比较结论. 2.不等式的性质的应用 ⑴利用不等式性质判断命题真假 ①直接法：利用不等式的相关性质或函数的相关性质推理证明；举反例证明命题是错误的； ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． ⑵在约束条件下求多变量函数式的范围 已知，求的取值范围． ①设； ②根据恒等变形求得待定系数； ③再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 不可单独求出的范围，再求防止范围扩大. 【典例精讲】 例1.(2022·山东省青岛市期末) 已知则的取值范围为          ，则的取值范围为          ． 例2.(2023·江苏省连云港市月考) 若，，，，则下列不等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 解：当，时，满足， 但，，故A，B错误； 因，，由不等式性质得，C正确； 当时，不成立，排除， 故本题选C. 例3.(2023·浙江省温州市调研) 已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·广东省揭阳市月考) 已知实数，，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2022·湖南省长沙市联考) 设，给出下列四个结论：其中正确结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 考点二 解一元二次不等式及其他不等式 【方法储备】 1. 解一元二次不等式 ⑴解不含参数的一元二次不等式 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集。 ⑵解含参数的一元二次不等式 ①讨论二次项系数：若二次项的系数含有参数，讨论二次项的系数为正、负、零的情况； ②判断方程根的个数：若不等式可转化为的形式，讨论的大小； 若不等式不能转化为，讨论判别式与0的关系，从而确定根的个数，若有根，则用求根公式求出对应方程的根； ③写出解集. 2.解分式不等式 ①；②； ③；④； 【典例精讲】  例4.(2023·山东省临沂市月考) 已知全集，集合时，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为(    ) A. B. C. D. 例5. (2023·湖北省黄冈市期中) 设函数． 若对任意的，均有成立，求实数的取值范围； 若，解关于的不等式． 【拓展提升】 练2