专题1.2 常用逻辑用语讲义——2024届高考数学一轮复习

专题1.2 常用逻辑用语 1.充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系 充分、必要条件：, 集合关系 若，则是的充分条件，是的必要条件 是的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的充要条件 是的既不充分也不必要条件 且 且 重要结论： 1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件． 2．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题.即对中任意任意一个，成立，可用符号简记为“”． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题.即存在中的元素，成立，可用符号简记为“，”． 3．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题. （2）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 4．常见的否定形式 原语句 是 都是 至少有一个 至多有一个 或 且 否定形式 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 非且非 非或非 1.【人教A版必修一 1.5.2 例5 P31】写出下列命题的否定，并判断其真假： ：末位数字为的整数能被整除； ：对任意，，都有； ：，，． 2.【人教A版必修一 习题1.4 练习5 P23】已知，，是的三边长，且我们知道，为直角三角形的充要条件是，请利用边长，，分别给出为锐角三角形和钝角三角形的充要条件，并加以证明．考点一 充分条件、必要条件的判断 【方法储备】 1.定义法：根据进行判断； 即若，则是的充分条件，同时是的必要条件. 注意区别： （1）是的充分不必要条件； （2）的充分不必要条件是. 2.集合法：若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即， 通过集合之间的包含关系进行判断．即小范围推得大范围. ①若，则是的充分条件； ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充分不必要条件； ④若，则是的必要不充分条件； ⑤若，则是的充要条件； ⑥若且，则是的既不充分也不必要条件. 3.传递法： ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． 若直接判断比较困难时，可举出反例说明． 【典例精讲】 例1.(2022·广东省东莞市月考) 已知：；：，，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例2.(2023·河北省石家庄市月考) 设，是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是(    ) A. 当时，“”是“”成立的充要条件 B. 当时，“”是“”的充分不必要条件 C. 当时，“”是“”必要不充分条件 D. 当时，“”是“”的充分不必要条件 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省无锡市期末) 给出下列四个命题，其中正确命题为(    ) A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 练1-2(2023·云南省昆明市月考) 设等比数列的首项为，公比为，是数列的前项和，则“”是“恒成立”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点二 充分条件、必要条件的探究与应用 【方法储备】 1.充分条件与必要条件的探求 先找到命题成立的充要条件对充要条件的范围进行放大或缩小得到相应的充分条件、必要条件、充分不必要条件或必要不充分条件. 2.根据充分、必要条件求解参数范围 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系根据集合之间的关系，列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； 注意：在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，要注意区间端点值的检验，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 3.数形结合思想的应用 在解答有关充分必要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题. 【典例精讲】  例3.(2022·湖南省衡阳市模拟) 使不等式成立的一个充分不必要条件是(    ) A. ， B. C. D. 例4. (2022·湖北省黄冈市期末) 已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围．(    ) A. B. C. D. 【拓展提升