4.1导数的概念与切线问题讲义-2024届高考数学一轮复习

专题4.1 导数的概念及切线问题 1．函数在点处导数与导函数的概念 (1)对于函数，设自变量从变化到，如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称瞬时变化率），记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x变化时，是x的函数，这个函数称为函数y＝f(x)的导函数（简称导数）．记作f′(x)或y′，即f′(x)＝＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0),则切线方程为． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q且) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 （1） （2） ；特别地： （3） 5．复合函数的导数 一般地，对于由函数和复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 重要结论： 1． 导数研究一个函数在其定义域内的某点处的变化率问题，是对函数局部性质的刻画； 2． 定义法求导数的步骤： 第一步：写出函数的平均变化率并化简； 第二步：求极限，若存在，则导数; 3． 函数的导数反映了函数的瞬时变化情况，其正负号反映了变化的方向， 描述了变化速度的快慢，越大，变化越快，图象越陡峭； 4． ； 5． 若函数，在上可导，，则. 1.【人教A版选择性必修二 习题5.1 2 P70】如图所示，水波的半径以1的速度向外扩张，当半径为5m时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是______          2.【人教A版选择性必修二 练习4 P70】某堆雪在融化过程中，其体积单位：与融化时间单位：近似满足函数关系：为常数，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的        考点一 导数的运算 【方法储备】 导数运算技巧： 1.实际情境中需明确导数代表的涵义； 2.求函数的导数，要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，对于比较复杂的函数求导时，先化简再求导 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时进行换元； 4.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后灵活应用方程思想求解. 【典例精讲】 例1（2022·江西省模拟题)设函数的导函数为，且，则(     ) A. B. C. D. 例2(2022·广东省月考题)反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量单位：贝克与时间单位：天满足函数关系为自然对数的底数，其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则(    ) A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省模拟题)设为的导数．若，则           练1-2(2023·安徽省模拟题) 已知：若函数，在上可导，，则又英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则          ，          ． 练1-3(2023·浙江省模拟题)麦克劳林是世纪英国最具有影响的数学家之一，他得到数学分析中著名的麦克劳林级数展开式，其中有公式，，若，且在是减函数，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 考点二 导数的几何意义及应用 【方法储备】 1.明确导数几何意义，理解以直代曲思想； 2.利用导数研究曲线的切线问题： （1）已知斜率求切线方程：由斜率求出切点坐标，求出切线方程. （2）已知切点求切线方程：求出切点处的导数值，即为切线斜率，求出切线方程. （3）过点的切线方程：区分点是否为切点 ①点为切点：切线方程为，切线只有一条； ②点不为切点：设出切点坐标,表示出在点切线方程，将