专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【核心素养】 1.利用同角三角函数基本关系式，解决化简、求值、证明等问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2.诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 3.诱导公式、同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 同角三角函数的基本关系式 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 2.对同角三角函数基本关系式的理解 注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． 3．常用的等价变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tanα＝⇒ 知识点二 三角函数诱导公式 六组诱导公式 　角 函数　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 知识点三 特殊角的三角函数值（熟记） 常考题型剖析 题型一：弦切互化问题 【典例分析】 例1-1.（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 例1-2.（2023·全国·高三专题练习）若，则 ． 例1-3.（黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年高一期末）已知＝2，计算下列各式的值． (1)tan α； (2)sin2α－2sinαcosα＋1. 【规律方法】 1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解；在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意商数关系及的灵活应用； 3.知切求弦：先利用商数关系变形得出sin α或cos α表达式，然后利用平方关系求解. 利用＝tanα可以实现角α的弦切互化． （1）若已知tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐． （2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解． 4.同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，)，(1，，2)，(1,2，)，(1,3，)等，熟悉它们之间的关系，能快速解决客观题 【变式训练】 变式1-1.（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则 . 变式1-2.（广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一上学期1月期末）所有可能取值的集合为 ． 变式1-3.（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知，则 ． 题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 例2-1.（山东省德州市2022-2023学年高一上期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知，求值： (1)； (2)； (3). 【规律方法】 1.对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过，sin αcos α＝，sin αcos α＝等关系进行变形、转化. 2.若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值． 【变式训练】 变式2-1.（重庆市长寿区2022-2023学年高一