第06讲 向量法求空间角（含探索性问题）(分层精练）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西商洛·统考二模）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”一个长方体沿对角面斜解（图），得到两个一模一样的堑堵（图），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图），得到一个四棱锥，称为阳马（图），一个三棱锥称为鳖臑（图）．若鳖臑的体积为，，，则在鳖臑中，平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 10．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）如图①，在矩形中，，为的中点将沿直线翻折至的位置，使得平面平面，如图②所示，下列说法法正确的有（    ） A．平面平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二两角的正弦值为 三、填空题 11．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为__________. 12．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________． 四、解答题 13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 14．（2023·天津·校联考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点. (1)若. （i）求证：平面PCD； （ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值； (2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为，求PA. B能力提升 1．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边