第05讲 空间向量及其应用(分层精练）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 空间向量及其应用 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）设直线，的方向向量分别为，，若，则等于（    ） A．－2 B．2 C．－10 D．10 3．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．18 C． D． 4．（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）    A． B．4 C． D． 6．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 8．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间中三点，，，则（    ） A．向量与互相垂直 B．与方向相反的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．在上的投影向量的模为 9．（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（    ）    A．＝ B．＋＋＋ C．＝0 D．＝8 三、双空题 10．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为的中点，则__________；若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为__________. 四、填空题 11．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________． 12．（2023春·江苏泰州·高二江苏省兴化中学校联考阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________． 五、解答题 13．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知空间三点，设． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求k的值． 14．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. B能力提升 1．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点.则（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面 4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 5．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且． (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． C综合素养 1．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 2．（2023春·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA. 3．（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 4．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，