拓展专题05 圆锥曲线的第二定义、第三定义及应用6题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

拓展专题05 圆锥曲线的第二定义、第三定义及应用 题型1 圆锥曲线的通径问题 （常考点） 题型4 抛物线中的焦点弦及焦半径问题（重点） 题型2 椭圆第二定义的应用 题型5 椭圆第三定义的应用（常考点） 题型3 双曲线第二定义的应用 题型6 双曲线第三定义的应用（常考点） 【重要方法与结论】 一、圆锥曲线的第二定义及焦半径公式 1.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F与到一条定直线l(l不过点F)的距离之比等于常数e点的集合叫作圆锥曲线. 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率． 当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆； 当e>1时，圆锥曲线是双曲线； 当e=1时，圆锥曲线是抛物线． 2.椭圆的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(a>c>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做椭圆.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是椭圆的离心率e. 3.双曲线的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(c>a>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是双曲线离心率e. 4.椭圆、双曲线的焦半径公式 （1）焦半径：椭圆（双曲线）上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. （2）椭圆的焦半径公式 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 推导如下：由椭圆的第二定义，得（为点P到左准线的距离），则同理，得 ②类似可得，当椭圆的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是椭圆上的任一点，则,. （3）双曲线的焦半径公式 ①当双曲线的焦点在x轴上时，设分别为双曲线的左、右焦点,点是双曲线上的任一点，则,. ②类似可得，当双曲线的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是双曲线上的任一点，则,. 二、椭圆与双曲线的第三定义 1.椭圆的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时，有，，则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的椭圆． 2.双曲线的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时有，， 则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的双曲线． 注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用． 3．统一形式 已知点，是椭圆或双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆或双曲线上异于，的一点，且，存在，则（其中，为椭圆或双曲线的离心率）． 4.图形扩展：两种特殊情形 图中，为椭圆的切点，则； 图中，为线段的中点（，分别在双曲线的两条渐近线上），则． 三、由两个定义推导出的重要结论 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则 (2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: (2)为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 (2)为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 特殊情形，对于焦点在轴上的椭圆，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 (2)为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 特殊情形，对于焦点在轴上的双曲线，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 6. 椭圆的角度式焦半径公式 设是椭圆上任意一点，为它的一个焦点，，则 注:上述公式定义为圆锥曲线上的点,为焦点 7. 双曲线的角度式焦半径公式 设 是双曲线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 与 位于 轴的同侧时取正，否则取负. 取 ，无需讨论焦点位置. 8. 抛物线的角度式焦半径公式 已知 是抛物线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 9. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有. 题型一 圆锥曲线的通径问题(共5小题) 1．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）椭圆的通径长为    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的通径即过焦点并且和焦点所在的轴垂直的直线截得的线段长，右焦点为：，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为，线段长度为1. 故答案为D. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的通径长公式计算． 【详解】由已知，双曲线的通径长， 故选：B. 3．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（    ） A．8 B．8或24 C．12 D．12或24 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，根据点到准线的距离得到抛物线方程，再计算通径得到答案. 【详解】，即， 当时，准线方程为，故，，抛物线方程为， 焦点，当时，，通径长为； 当时，准线方程为，故，，抛物线方程为，焦点，当时，，通径长为. 综上所述：通径长为或. 故选：B 4．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用通径公式结合题意列出关系式，即可求解. 【详解】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为， 则，得， 即，所以的离心率为． 故选：C 5．(多选) （2026·甘肃张掖·一模）已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B．若双曲线的通径长为2，则 C．若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D．若点在双曲线上，则 【答案】ABC 【详解】在双曲线中，. 若离心率，则，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，A正确． 将代入，得， 又，所以，解得． 由题意得，解得，B正确．由题意，得． 不妨设点在第一象限，，则， 所以，解得，所以的面积，C正确． 因为点在双曲线上，所以，解得． 因为点在第一象限，所以，D错误． 故选：ABC. 题型二 椭圆第二定义的应用（共6小题） 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，，准线方程为：. 设，三角形重心坐标公式可得：，则. 如下图作出椭圆的两条准线，过向两条准线做垂线，垂足为. 由椭圆第二定义可得：， 从而， ，则. 如图，作出的内切圆，与各边切点为. 由圆的切线性质可得：， 则， 又注意到，则， 结合，可得. 因表示三角形内心到的距离， 则，其中为三角形内切圆半径. 注意到， 因在x轴同侧，从而，则，注意到， 则 7．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由焦半径公式结合列出等式求解即可. 【详解】椭圆的左准线方程为，设，为左焦点，为右焦点， 由椭圆的第二定义可知，得， 再由，得， 所以， 又而，所以， 结合，可得：， 又，代入上式解得：， 由椭圆的对称性可知满足条件的点有4个， 故选：C． 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线的焦点为，，根据圆锥曲线的统一定义得，再由角平分线定理得，通过化简变形得到，从而得，再根据∥，求得，将代入求出代入即得结果. 【详解】因为椭圆，所以， 所以，，，离心率. 设抛物线的焦点为，由题意得， 设，则 由角平分线定理得，所以， 所以，即 所以，所以， 所以 由题意，得∥，所以，解得. 将代入，得，解得， 所以. 故选：D. 9．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【分析】设，由题设及椭圆第二定义可得答案. 【详解】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 10．（24-25高二上·浙江·期中）已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________． 【答案】 【分析】设，可得，结合椭圆的第二定义可得，进而得到，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，要求的最大值，设， 则，即， 由，得，则， 则，，椭圆的右准线为， 则到右准线为的距离为， 根据椭圆的第二定义可知，，即， 又，， 则 ， 由于，则， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 即的最大值为. 故答案为：. 11.已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】根据椭圆方程求出离心率与右准线方程，设在右准线上的射影为，利用椭圆的第二定义，把转化到右准线的距离，利用“两点间的距离最短”和条件，求出最小值以及对应的点的坐标． 【详解】解：由椭圆的方程，可知，，，所以，右准线． 如图，设在右准线上的射影为， 根据椭圆的第二定义，有，即，所以． 显然，当、、三点共线时，有最小值， 即． 此时，将代入椭圆的方程得或（舍去），所以． 题型三 双曲线第二定义的应用（共6小题） 12．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆：当时，轨迹为抛物线：当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式以及圆锥曲线的统一定义，可得的不等式，即可求解 【详解】即， 可得， 所以， 所以，即， 可得动点到顶点的距离和到定直线的距离之比为常数， 由双曲线的定义可得，解得， 故选：A 13．（25-26高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】双曲线左支上一点为，则，且， 则，则， 由已知可得，解得，因此，双曲线方程为. 故选：B. 14．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【解析】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为， 若取最小值，则点在双曲线的右支上，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 联立可得， 因为与直线无交点，则， 即，因为，解得. 故选：B. 15．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【解析】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以由焦半径公式得， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 16．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 17．（2007高二·全国·竞赛）定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上运动，则AB中点M的横坐标的最小值为______． 【答案】 【分析】设F是右焦点，点，，由双曲线第二定义结合条件可得，进而即得. 【详解】设F是右焦点，点，． 由离心率为，右准线为， 则, 则，∴． ∴． 题型四 抛物线的焦点弦及焦半径问题（共8小题） 18．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】写出直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，利用焦点弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得直线，与抛物线方程联立， 得. 设，，则，所以，故. 故选：A 20．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 21．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 22．（多选）（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（    ） A．的坐标为 B． C．若，则 D．为钝角 【答案】BCD 【分析】根据抛物线方程得交点坐标即可判断A；根据直线斜率是否存在，分类讨论并结合韦达定理即可判断B；根据抛物线定义即可判断C；利用韦达定理及向量的数量积公式即可判断D. 【详解】如图： 选项A，由已知得焦点，所以A不正确； 选项B，当直线的斜率不存在时，，，则， 当直线的斜率存在时，设其方程为，与抛物线方程联立， 得，则，，所以B正确； 选项C，由抛物线定义知，，若，则，所以C正确； 选项D，由， 则，所以为钝角，所以D正确. 故选：BCD. 23．(多选)（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义，可判断A的真假；写出直线的方程，与抛物线方程联立，求出点的横坐标，结合抛物线的定义，可判断BCD的真假. 【详解】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确； 对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：， 整理得：， 所以，. 根据抛物线的定义：，. 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由AB可知，，所以，故D正确. 故选：ACD 24．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 【答案】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 25．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由抛物线定义得到边相等，根据等边对等角得到，根据平行得到角相等，从而得到平分．同理可得平分，即可得到结果. 【详解】解法1  如图，由抛物线定义易知， 根据等边对等角，所以， 因为轴，根据两直线平行，内错角相等，从而，所以平分． 同理可得平分，所以． 解法2  抛物线的焦点为，由题可知的斜率不为0， 故设直线的方程为， 令，，则，， 联立直线与抛物线方程得，消去整理得， 则，． 又，，所以， 则，则． 题型五 椭圆第三定义的应用（共6小题） 26.(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A.B.C. D. 【答案】A 【详解】法一：设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝　①.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，代入①式，得＝，所以e＝＝.故选A. 法二：(第三定义)：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A. 27．已知A，B，P是上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则的离心率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据椭圆的对称性可知A，B关于原点对称， 设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y）， 则， ∴由和1两式相减，得：， ∴，∴， 设a＝3k，则b＝2k，c， ∴e．故选：B． 28．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的性质，利用已知条件求出直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理求出坐标关系，利用两点间距离公式构造方程求出的关联，最后利用离心率的计算公式求解． 【详解】 椭圆，设半焦距为，， 左焦点，，， 过点作倾斜角为的直线的斜率，直线方程为， 设，中点， 联立直线和椭圆方程得， 由韦达定理得，，， ，， ，解得， ，故D正确． 故选：D 29.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点，又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率． 30.已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆上存在一点P，使，可知点P既在椭圆上，又在以为直径的圆上．根据条件写出圆的方程，将其与椭圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，可求得，然后由椭圆的几何性质可得，化简可得a,c之间的关系，进而可得离心率的范围。 【详解】设点．由知，点在以为直径的圆上． 圆的方程是，即。 　① 又点在椭圆上，故 　② 把①代入②，得.故， 因为，所以. 又，∴ ，即， 两边同处，整理得：，即， 解得：或， 又，∴所求椭圆的离心率的取值范围是， 故答案为：. 31.已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【分析】依题意，不妨取点为椭圆的上顶点，表示出直线，从而得到的坐标，由两直线垂直，可得斜率乘积为，从而得到、的关系，再求出椭圆的离心率； 【详解】解：不妨取点为椭圆的上顶点如图所示， 则：，则，所以，又因为，，所以，所以，所以 所以 故答案为： 题型六 双曲线第三定义的应用（共4小题） 32．（2026·河南南阳·二模）双曲线的右焦点为，过点的动直线交双曲线的右支于，两点，点，若直线平分，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， 设角平分线FT的倾斜角为，斜率为， 设直线FA的倾斜角为，斜率为， 设直线FB的倾斜角为或，斜率为或， 则，， 又， 所以可解得，，则， 化简可得（*）， 易知直线l的斜率一定存在，设直线的方程为， 代入双曲线方程得，整理得， 设，，由韦达定理得， 所以，同理， 所以， ， 代入（*）式并化简可得， 将两根之和及两根之积代入并化简可得，解得或， 当时，A、B不在双曲线的同一支上，无法满足直线平分，故舍去， 综上，． 33．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中点性质转化，结合双曲线定义与余弦定理求出，再用点差法直接得到PM与QM的斜率之积等于，快速求解. 【详解】设，，， 在中，由余弦定理可得， 又，则有，① 又为的中点，由中线定理可得， 即，② ②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设， 则，因为都在双曲线上， 所以，，所以， 则． 34．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）设，分别是双曲线的左、右顶点，点在上且在第一象限内，直线与圆的另一个交点为，设，，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可得，所以，所以，再结合，代入化简即可求出，最后由代入可得出答案. 【详解】由题意知，，由在上，设， 所以，则， ， 因为直线与圆的另一个交点为，所以， 所以，所以， 且. 在中， 因为，所以， 易得， 即， 所以， 所以， 对比条件可知，故. 35.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1·k2＝，则该双曲线的离心率为_____ 【答案】 【详解】设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，所以kPM·kPN＝·＝.因为－＝1，－＝1，两式相减可得＋＝0，即＝.因为kPM·kPN＝，所以＝，所以e＝＝＝.故选A. 2 / 24网（北京）股份有限公司zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题05 圆锥曲线的第二定义、第三定义及应用 题型1 圆锥曲线的通径问题 （常考点） 题型4 抛物线中的焦点弦及焦半径问题（重点） 题型2 椭圆第二定义的应用 题型5 椭圆第三定义的应用（常考点） 题型3 双曲线第二定义的应用 题型6 双曲线第三定义的应用（常考点） 【重要方法与结论】 一、圆锥曲线的第二定义及焦半径公式 1.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F与到一条定直线l(l不过点F)的距离之比等于常数e点的集合叫作圆锥曲线. 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率． 当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆； 当e>1时，圆锥曲线是双曲线； 当e=1时，圆锥曲线是抛物线． 2.椭圆的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(a>c>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做椭圆.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是椭圆的离心率e. 3.双曲线的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(c>a>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是双曲线离心率e. 4.椭圆、双曲线的焦半径公式 （1）焦半径：椭圆（双曲线）上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. （2）椭圆的焦半径公式 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 推导如下：由椭圆的第二定义，得（为点P到左准线的距离），则同理，得 ②类似可得，当椭圆的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是椭圆上的任一点，则,. （3）双曲线的焦半径公式 ①当双曲线的焦点在x轴上时，设分别为双曲线的左、右焦点,点是双曲线上的任一点，则,. ②类似可得，当双曲线的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是双曲线上的任一点，则,. 二、椭圆与双曲线的第三定义 1.椭圆的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时，有，，则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的椭圆． 2.双曲线的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时有，， 则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的双曲线． 注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用． 3．统一形式 已知点，是椭圆或双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆或双曲线上异于，的一点，且，存在，则（其中，为椭圆或双曲线的离心率）． 4.图形扩展：两种特殊情形 图中，为椭圆的切点，则； 图中，为线段的中点（，分别在双曲线的两条渐近线上），则． 三、由两个定义推导出的重要结论 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则 (2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: (2)为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 (2)为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 特殊情形，对于焦点在轴上的椭圆，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 (2)为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 特殊情形，对于焦点在轴上的双曲线，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 6. 椭圆的角度式焦半径公式 设是椭圆上任意一点，为它的一个焦点，，则 注:上述公式定义为圆锥曲线上的点,为焦点 7. 双曲线的角度式焦半径公式 设 是双曲线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 与 位于 轴的同侧时取正，否则取负. 取 ，无需讨论焦点位置. 8. 抛物线的角度式焦半径公式 已知 是抛物线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 9. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有. 题型一 圆锥曲线的通径问题(共5小题) 1．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）椭圆的通径长为    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（    ） A．8 B．8或24 C．12 D．12或24 4．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．(多选) （2026·甘肃张掖·一模）已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B．若双曲线的通径长为2，则 C．若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D．若点在双曲线上，则 题型二 椭圆第二定义的应用（共6小题） 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 10．（24-25高二上·浙江·期中）已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________． 11.已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 题型三 双曲线第二定义的应用（共6小题） 12．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆：当时，轨迹为抛物线：当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 17．（2007高二·全国·竞赛）定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上运动，则AB中点M的横坐标的最小值为______． 题型四 抛物线的焦点弦及焦半径问题（共8小题） 18．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 20．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 21．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（    ） A．的坐标为 B． C．若，则 D．为钝角 23．(多选)（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 24．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 25．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 题型五 椭圆第三定义的应用（共6小题） 26.(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A.B.C. D. 27．已知A，B，P是上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则的离心率（　　） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 29.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 30.已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 . 31.已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率是 ． 题型六 双曲线第三定义的应用（共4小题） 32．（2026·河南南阳·二模）双曲线的右焦点为，过点的动直线交双曲线的右支于，两点，点，若直线平分，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）设，分别是双曲线的左、右顶点，点在上且在第一象限内，直线与圆的另一个交点为，设，，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 35.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1·k2＝，则该双曲线的离心率为_____ 2 / 24网（北京）股份有限公司zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $