第18讲 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第18讲 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国甲卷理数，第21题,12分 端点效应 利用导数求函数的单调区间（不含参） 利用导数研究不等式恒成立问题 2021年全国甲卷文数，第20题,12分 端点效应 用导数判断或证明已知函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 2021年全国Ⅰ卷理数，第21题,12分 端点效应 用导数判断或证明已知函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数解决函数基本问题 2能求解含参不等式的基本问题 3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题 【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方法有三种: 1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学生重点复习掌握，也是高考热点问题 知识讲解 1. 端点效应的定义 恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值， 这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应 2. 端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求. 3. 端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。 利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 (1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 (2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 (3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 4. 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 考点一、端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 一、单选题 1．（全国·高考真题）若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题 2．（·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是 三、解答题 3．（全国·高考真题）已知函数. （I）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若当时，，求的取值范围. 4．（全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 5．（全国·高考真题）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【能力提升】 1．（2023·江苏南通·高三）已知函数，. (1)当时，求函数的最大值； (2)若关于的不等式对任意的实数恒成立，其中为自然对数的底数，求的取值范围. 2．（2023·江苏南通·高三）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围. 3．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数（其中是自然对数的底数），. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 4．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（