第17讲 卡根思想在导数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第17讲 卡根思想在导数中的应用（高阶拓展） （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国甲卷理数，第21题,12分 卡根思想在导数中的应用. 求在曲线上一点处的切线方程 用导数判断或证明已知函数的单调性 根据极值求参数 由函数对称性求函数值或参数 2023年全国乙卷理数，第21题,12分 卡根思想在导数中的应用 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年新I卷，第22题,12分 卡根思想在导数中的应用 利用导数研究方程的根 由导数求函数的最值 (含参) 2022年全国乙卷理数，第21题,12分 卡根思想在导数中的应用 求在曲线上一点处的切线方程 (斜率 利用导数研究函数的零点 2021年全国甲卷理数，第21题,12分 卡根思想在导数中的应用 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 利用导数研究方程的根 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数解决函数基本问题 2能用卡根思想结合零点存在性定理综合解题 【命题预测】在零点个数及方程的根等综合问题研究中，参变分离和数形结合都是解题的方法，但也都有局限性，同时对函数图像画法要求较高；包括在零点个数研究中还有放缩方法，但是放缩的不等式变化较多，这样对学生又提出了比较严苛能力要求。此时卡根法是此类题型的另一方法。同时卡根法也常应用于导数研究函数性质的过程中，其本质是虚设零点（设而不求），利用零点满足的关系式化简，从而得到范围或符号。高考中常用的解题方法，需要学生复习中综合掌握 知识讲解 “卡根”问题的一般方法，其具体步骤如下 1. 根据函数的增长速度判断函数值变化的趋势，以便确定是否存在零点; 2. 根据函数表达式的特点进行拆分，一般拆分成和或乘积形式; 3. 根据函数的增长速度，将指、对数函数放缩成幂函数及其和的形式; 4. 根据相关不等式的解集，利用零点存在定理来确定零点存在的区间 零点存在性定理： 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 考点一、卡根思想在导数中的综合应用 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论. 2．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值点的个数； (2)证明：函数在区间内有且只有一个零点. 3．（2022·海南省直辖县级单位·嘉积中学校联考模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值. 【能力提升】 1．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，，证明：． 2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知． (1)求的单调区间； (2)当时，为较小的零点，求证：． 3．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知. (1)若在处取到极值，求的值； (2)直接写出零点的个数，结论不要求证明； (3)当时，设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于. 4．（卓越高中千校联盟2020届高考理科数学终极押题卷）已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时， ①证明：函数恰有一个零点； ②设为的极值点，为的零点，证明：. 参考数据： 5．（2022·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 6．（2022·河南·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)证明函数存在最小值，并求出函数的最大值. 7．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l． (1)求b的值以及l的方程； (2)判断函数在上零点的个数，并说明理由． 8．（2022·四川内江·统考三模）