第16讲 导数中的极值点偏移问题（高阶拓展）（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第16讲 导数中的极值点偏移问题（高阶拓展） （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2022年全国甲卷理，第21题,12分 导数中的极值偏移问题 恒成立问题、零点问题 利用导数证明不等式 2021年新I卷，第22题,12分 导数中的极值偏移问题 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题 2能理解并掌握极值点偏移的含义 3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解 【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习 知识讲解 1. 极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏. 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 2. 极值点偏移问题的一般题设形式 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 3. 极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 4. 对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 只证：当时，．不失一般性，可设． 证明如下： （I）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减， 故，从而不等式①成立； （II）再证：……② 不等式②（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式成立； 综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立， 当且仅当时，等号成立． 5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 极值点偏移高考真题鉴赏 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 考点一、含对数型极值点偏移 1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，求证：． 2．（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）已知函数． （1）当时，若有两个零点，求的取值范围； （2）若且，证明：． 1．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数． （1）当时，判断函数是否有极值，并说明理由； （2）若函数有两个极值点，，且，证明：． 2．（2023·宁夏吴忠·校联考模拟预测）已知函数． （1）求函数的最大值； （2）若函数存在两个零点，证明：． 考点二、含指数型极值点偏移 1．（2023·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围； （3）如果，且，求证：. 2．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数有三个极值点， （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 1．（2023·四川达州·统考一模）已知函数(其中e是自然对数