第15讲 导数中的隐零点问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第15讲 导数中的隐零点问题（高阶拓展） （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2020年新I卷，第21题,12分 导数中的隐零点问题 不等式恒成立问题 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数求解函数基本问题 2掌握函数零点存在性定理及其应用 3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围 【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一, 其源于含指对函数的方程无精确解, 这样 我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计, 所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习 知识讲解 在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”． 1. 解题步骤 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简: （1）要么消除 最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到 最值式的估计. 2. 隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能 很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应 用: 原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 考点一、隐零点综合问题 1．（2020·山东·统考高考真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 2．证明 3．求 的极值 4．已知函数 ，若, 求 的取值范围. 1．已知函数 ，当 且 时, 不等式 在 上恒成立, 求 的最大值. 2．已知函数 对任意的 恒成立, 其中实数 , 求 的取值范围. 3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数， 且. (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 4．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)当时，证明：． 5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数． 【能力提升】 1．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点． (1)求； (2)证明：当时，． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数，是的导函数． (1)当时，求证：存在唯一的，使得； (2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：当时，． 4．（2023春·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知函数f(x)=-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0. 5．（2023春·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知函数，求： (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，总有，求整数的最小值. 6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 7．（2021·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知函数，. （1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数； （2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值. 8．（2021秋·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）已知函数． (1)求函数在处的切线方程 (2)证明：在区间内存在唯一的零点； (3)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中学校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 10．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知函数在点处的切线过点． (1)求实数的值，并求出函数单调区间；